天津市和平区2021届高三下学期第三次质量调查数学试题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. “直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 内无数条直线垂直”是“直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 垂直”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不必要也不充分条件

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3. 某市通过统计50个大型社区产生的日均垃圾量，绘制了如下图所示的频率分布直方图，数据的分组依次为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .为了鼓励率先实施垃圾分类回收，将日均垃圾量不少于14吨的社区划定为试点社区，则这样的试点社区个数是（）.

A . 4 B . 10 C . 19 D . 40

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4. 意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为 $\text{[math]}$ 的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（）

A . B . C . D .

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5. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系为（）.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 在圆柱 $\text{[math]}$ 内有一个球 $\text{[math]}$ ，球 $\text{[math]}$ 分别与圆柱 $\text{[math]}$ 的上、下底面及母线均有且只有一个公共点.若 $\text{[math]}$ ，则圆柱 $\text{[math]}$ 的表面积为（）.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知点F是双曲线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的一个焦点，若双曲线实轴的一个端点、虚轴的一个端点与点F恰好是直角三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象的一条对称轴为 $\text{[math]}$ ，则下列结论中正确的是（）.

A . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 图象的一个对称中心 B . $\text{[math]}$ 是最小正周期为 $\text{[math]}$ 的奇函数 C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增 D . 先将函数 $\text{[math]}$ 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 $\text{[math]}$ ，然后把所得函数图象再向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，即可得到函数 $\text{[math]}$ 的图象

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9. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. i是虚数单位，复数 $\text{[math]}$ ，则z的共轭复数 $\text{[math]}$ .

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11. $\text{[math]}$ 的展开式中常数项是.

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12. 设 $\text{[math]}$ ，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的准线l与圆 $\text{[math]}$ 相切，则 $\text{[math]}$ .

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13. 若正实数x，y，z满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是.

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14. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 使得方程 $\text{[math]}$ 恰有3个不同根，则实数a的取值范围为.

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15. 某校象棋社团开展竞赛活动，比赛中双方有一人获胜或者双方和棋则比赛结束.根据以往比赛结果，在一局比赛中，甲战胜乙的概率是 $\text{[math]}$ ，两人和棋的概率是 $\text{[math]}$ ，则乙战胜甲的概率是；甲乙两人比赛2局，每局胜方记3分，负方记0分，和棋双方各记1分，则甲得分不少于2分的概率是.

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16. 已知 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ 的长；

（Ⅱ）求 $\text{[math]}$ 的值；

（Ⅲ）求 $\text{[math]}$ 的值.

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17. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．过点 $\text{[math]}$ 做四棱锥 $\text{[math]}$ 的截面 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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18. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ，且经过点 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（Ⅱ）已知点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的动直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 左侧），试讨论 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系，并说明理由.

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19. 已知 $\text{[math]}$ 是各项都为整数的等比数列， $\text{[math]}$ 是等差数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）设 $\text{[math]}$ 表示数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项乘积，即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
（ⅰ）求 $\text{[math]}$ ；
（ⅱ）若数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

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20. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）求函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

（2）证明：（ⅰ） $\text{[math]}$ ；
（ⅱ） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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天津市和平区2021届高三下学期第三次质量调查数学试题

一、单选题

二、填空题

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