福建省龙岩市2021届高三数学三模试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A . {-1} B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 设 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.如图所示的统计图，记这组数据的众数为 $\text{[math]}$ ，中位数为 $\text{[math]}$ ，平均数为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数为（）

A . -60 B . -20 C . 30 D . 60

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5. 如图，一个三棱柱的容器盛有水，水的体积是三棱柱体积的 $\text{[math]}$ ，现将其侧面 $\text{[math]}$ 放置于水平地面，水面恰好经过底边 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，准线为 $\text{[math]}$ ，过抛物线上一点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 30° B . 45° C . 60° D . 75°

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7. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的对边为 $\text{[math]}$ ，则" $\text{[math]}$ 成立的必要不充分条件为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 若直线 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 的切线，也是曲线 $\text{[math]}$ 的切线，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 下列命题中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 复数 $\text{[math]}$ 的虚部是-2 C . 若复数 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点位于第一象限 D . 满足 $\text{[math]}$ 的复数 $\text{[math]}$ 在复平面上对应点的轨迹是双曲线

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10. 已知两个函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . 两个函数的定义域相同 B . 两个函数都是奇函数 C . 两个函数的周期相同 D . 两个函数的值域相同

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11. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和是 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 若数列 $\text{[math]}$ 为等差数列，则数列 $\text{[math]}$ 为等差数列 B . 若数列 $\text{[math]}$ 为等差数列，则数列 $\text{[math]}$ 为等差数列 C . 若数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等差数列，则 $\text{[math]}$ D . 若数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等差数列，则数列 $\text{[math]}$ 是常数数列

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12. 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛(Alberobello)，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo ，于1996年被收人世界文化遗产名录.现测量一个Trullo的屋顶，得到圆锥 $\text{[math]}$ 其中 $\text{[math]}$ 为顶点， $\text{[math]}$ 为底面圆心)，母线 $\text{[math]}$ 长为6米， $\text{[math]}$ 是母线 $\text{[math]}$ 的靠近点 $\text{[math]}$ 的三等分点.从点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 绕屋顶侧面一周安装灯光带，若灯光带的最小长度为 $\text{[math]}$ 米.下面说法正确的是（）

A . 圆锥 $\text{[math]}$ 的侧面积为 $\text{[math]}$ 平方米 B . 过点 $\text{[math]}$ 的平面截此圆锥所得截面面积最大值为18平方米 C . 圆锥 $\text{[math]}$ 的外接球表面积为 $\text{[math]}$ 平方米 D . 棱长为 $\text{[math]}$ 米的正四面体在圆锥 $\text{[math]}$ 内可以任意转动

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13. 已知 $\text{[math]}$ 是两个单位向量，且满足 $\text{[math]}$ ，那么向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为.

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14. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上且在第一象限内， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率为.

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15. 若函数 $\text{[math]}$ 有零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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16. 有六个从左到右并排放置的盒子，现将若干个只有颜色不同的黑球､白球随机放入这六个盒子(每个盒子只能放入一个球)，则事件“从左往右数，不管数到哪个盒子，总有黑球个数不少于白球个数”发生的概率为.

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17. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的等差中项.

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

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18. $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 边上的中线 $\text{[math]}$

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）在① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
问题：若 ▲ ，则 $\text{[math]}$ 是否存在？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的面积；若不存在，请说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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19. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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20. 甲､乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出胜负.已知本次比赛的主办方提供8000元奖金并规定：①若有人先赢4场，则先赢4场者获得全部奖金同时比赛终止；②若无人先赢4场且比赛意外终止，则甲､乙便按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.已知每场比赛甲赢的概率为 $\text{[math]}$ ，乙赢的概率为 $\text{[math]}$ ，且每场比赛相互独立.

（1）设每场比赛甲赢的概率为 $\text{[math]}$ ，若比赛进行了5场，主办方决定颁发奖金，求甲获得奖金的分布列；

（2）规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件，我们可以认为该事件不可能发生，否则认为该事件有可能发生.若本次比赛 $\text{[math]}$ ，且在已进行的3场比赛中甲赢2场､乙赢1场，请判断：比赛继续进行乙赢得全部奖金是否有可能发生，并说明理由.

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21. 已知 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 由曲线 $\text{[math]}$ 和曲线 $\text{[math]}$ 组成，其中曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 的左焦点 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）若直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 交曲线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

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22. 已知函数 $\text{[math]}$

（1）证明： $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 存在唯一极小值点；

（2）证明： $\text{[math]}$ .

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福建省龙岩市2021届高三数学三模试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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