湖南省株洲市2021届高三下学期数学教学质量统一检测试卷（二）

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . {2} B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -1 B . 0 C . 1 D . 2

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3. 2015年11月23日，中共中央政治局审议通过《关于打赢脱贫攻坚战的决定》，在脱贫攻坚战的过程中，某单位从7名申请人中挑选5名工作人员到甲､乙两个贫困村做志愿者，要求甲村安排2名，乙村安排3名，则不同的安排方法共有（）

A . 270种 B . 240种 C . 210种 D . 180种

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4. 在 $\text{[math]}$ 中，内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，若 $\text{[math]}$ ，则角C的大小为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图为学生做手工时画的椭圆 $\text{[math]}$ (其中网格是由边长为1的正方形组成)，它们的离心率分别为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 $\text{[math]}$ 与时间 $\text{[math]}$ 的关系为 $\text{[math]}$ .如果在前5个小时消除了 $\text{[math]}$ 的污染物，那么污染物减少 $\text{[math]}$ 需要花的时间为（）

A . 7小时 B . 10小时 C . 15小时 D . 18小时

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7. 若函数 $\text{[math]}$ 的大致图象如图所示，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间（单位为分钟）服从正态分布 $\text{[math]}$ ；路线②走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间（单位为分钟）服从正态分布 $\text{[math]}$ ，若住同一地方的甲、乙两人分别有 $\text{[math]}$ 分钟与 $\text{[math]}$ 分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别是（）

A . ①、② B . ②、① C . ①、① D . ②、②

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9. 从甲袋中摸出一个红球的概率是 $\text{[math]}$ ，从乙袋中摸出一个红球的概率是 $\text{[math]}$ ，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）

A . 2个球都是红球的概率为 $\text{[math]}$ B . 2个球中恰有1个红球的概率为 $\text{[math]}$ C . 至少有1个红球的概率为 $\text{[math]}$ D . 2个球不都是红球的概率为 $\text{[math]}$

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10. 若正实数a，b满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，下列不等式恒成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若这四个点中有且仅有两个点在函数 $\text{[math]}$ 的图象上，则正数 $\text{[math]}$ 的可能值为（）

A . 2 B . 4 C . 8 D . 12

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12. 如图所示，在正方体 $\text{[math]}$ 中，E是棱 $\text{[math]}$ 的中点，F是侧面 $\text{[math]}$ ，(包含边界)内的动点，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 与BE是异面直线 B . $\text{[math]}$ 不可能与 $\text{[math]}$ 平行 C . DF不可能与平面 $\text{[math]}$ 垂直 D . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值

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13. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为.

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14. 已知数列 $\text{[math]}$ 为等比数列，若数列 $\text{[math]}$ 也是等比数列，则数列 $\text{[math]}$ 的通项公式可以为.（填一个即可）

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15. 已知A，B(不与原点O重合)分别为直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 上的两点， $\text{[math]}$ ，M为动点，且 $\text{[math]}$ ，记三角形 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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16. 粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为 $\text{[math]}$ 的正四棱锥，则这个粽子的表面积为 $\text{[math]}$ .现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为.

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17. 如图所示，在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的大小；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 周长的最大值.

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18. 已知复数 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，其中i为虚数单位， $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 的共轭复数.

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）求 $\text{[math]}$ .

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19. 如图①，在直角梯形ABCD中， $\text{[math]}$ ，四边形ABEF是正方形：现将正方形ABEF沿AB折起到四边形 $\text{[math]}$ 的位置，使平面 $\text{[math]}$ 平面ABCD，M为 $\text{[math]}$ 的中点，如图②.

（1）证明：直线DC与直线 $\text{[math]}$ 相交；

（2）求直线BM与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

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20. 已知点 $\text{[math]}$ (其中 $\text{[math]}$ )是曲线 $\text{[math]}$ 上的两点，点A，D两点在x轴上的射影分别为点B､C，且 $\text{[math]}$ .

（1）当点B的坐标为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时，求直线AD的方程；

（2）记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，梯形ABCD的面积为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

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21. 某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：

产品的性能指数在 $\text{[math]}$ 的适合托班幼儿使用（简称A类产品），在 $\text{[math]}$ 的适合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在 $\text{[math]}$ 的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.

参考公式：对于一组数据 $\text{[math]}$ ，其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求每件产品的平均销售利润；

（2）该公司为了解年营销费用 $\text{[math]}$ （单位：万元）对年销售量 $\text{[math]}$ （单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用 $\text{[math]}$ ，和年销售量 $\text{[math]}$ 数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

16.30

24.87

0.41

1.64

表中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

根据散点图判断， $\text{[math]}$ 可以作为年销售量 $\text{[math]}$ （万件）关于年营销费用 $\text{[math]}$ （万元）的回归方程.

（i）建立 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归方程；

（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？

（收益=销售利润-营销费用，取 $\text{[math]}$ ）.

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ (其中常数 $\text{[math]}$ ).

（1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

（2）若 $\text{[math]}$ 有两个极值点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

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湖南省株洲市2021届高三下学期数学教学质量统一检测试卷（二）

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
16.30	24.87	0.41	1.64

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二、多选题

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