湖南省岳阳市2021届高三下学期数学高考一模试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则实数m应满足（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ （其中i为虚数单位），则复数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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3. 函数 $\text{[math]}$ 的图象大致为（）

A . B . C . D .

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4. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题．现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 $\text{[math]}$ ，则此数列所有项中，中间项的值为（）

A . 992 B . 1022 C . 1007 D . 1037

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5. “华东五市游”作为中国一条精品旅游路线一直受到广大旅游爱好者的推崇．现有4名高三学生准备2021年高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F，点 $\text{[math]}$ 为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 对于函数 $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 均称为函数 $\text{[math]}$ 的“先享点”已知函数 $\text{[math]}$ 且函数 $\text{[math]}$ 存在5个“先享点”，则实数a的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 2020年4月，在疫情防控阻击战之外，另一条战线也日渐清晰--复工复产、恢复经济正常运行．某企业对本企业1644名职工关于复工的态度进行调查，调查结果如图所示，则下列说法错误的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 从该企业中任取一名职工，该职工倾向于在家办公的概率为0.178 C . 不到80名职工倾向于继续申请休假 D . 倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986名

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10. 若函数 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的一个周期为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 C . $\text{[math]}$ 的一个零点为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减

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11. 以下说法，正确的是（）

A . $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 都不是偶函数 C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的充要条件 D . $\text{[math]}$ 中，“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的充要条件

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12. 将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角 $\text{[math]}$ ，点P为线段AD上的一动点，下列结论正确的是（）

A . 异面直线AC与BD所成的角为60° B . $\text{[math]}$ 是等边三角形 C . $\text{[math]}$ 面积的最小值为 $\text{[math]}$ D . 四面体ABCD的外接球的表面积为8π

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13. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数是．

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14. 已知点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动，则 $\text{[math]}$ 的最大值是．

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15. 设椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆上一点，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的外接圆和内切圆的半径分别为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，椭圆的离心率为.

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 均有 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数m的取值范围是.

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17. $\text{[math]}$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\text{[math]}$ ．

（1）求B的大小；

（2）若 $\text{[math]}$ ，且AC边上的中线长为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在函数 $\text{[math]}$ 的图象上．

（1）求证： $\text{[math]}$ 是等比数列，并求 $\text{[math]}$ 的通项公式：

（2）若 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

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19. 如图所示的几何体中， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面ABCD；

（2）若 $\text{[math]}$ ，点F在EC上，且满足EF=2FC，求二面角F—AD—C的余弦值．

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20. 某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品．而每个甲系列盲盒可以开出玩偶 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中的一个．

（1）记事件 $\text{[math]}$ ：一次性购买 $\text{[math]}$ 个甲系列盲盒后集齐 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 玩偶；事件 $\text{[math]}$ ：一次性购买 $\text{[math]}$ 个乙系列盲盒后集齐 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 玩偶；求概率 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ ；

（2）礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为 $\text{[math]}$ ，购买乙系列的概率为 $\text{[math]}$ ；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为 $\text{[math]}$ ，购买乙系列的概率为 $\text{[math]}$ ；前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为 $\text{[math]}$ ，购买乙系列的概率为 $\text{[math]}$ ；如此往复，记某人第 $\text{[math]}$ 次购买甲系列的概率为 $\text{[math]}$ ．
① $\text{[math]}$ ；

②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．

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21. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上．

（1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）设过点 $\text{[math]}$ 的直线l与曲线 $\text{[math]}$ 交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得 $\text{[math]}$ 为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ 为单调函数，求a的取值范围；

（2）若函数 $\text{[math]}$ 仅一个零点，求a的取值范围．

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湖南省岳阳市2021届高三下学期数学高考一模试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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