湖南省永州市2021届高三下学期数学三模试卷

1. 已知集合M，N是实数集R的子集，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则符合条件的集合M的个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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2. 已知 $\text{[math]}$ 为虚数单位，复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . -2

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3. 甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”，则该5人可能的排名情况种数为（）

A . 18 B . 36 C . 54 D . 64

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4. 有一个装有水且底面直径为12cm的圆柱形容器，水面与容器口的距离为 $\text{[math]}$ cm．现往容器中放入一个半径为r（单位：cm）的小球，该小球放入水中后直接沉入容器底部，若使该容器内的水不溢出，则小球半径r的最大值为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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5. 已知F是抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，若A，B是该抛物线上的两点，且 $\text{[math]}$ ，则线段AB的中点到直线 $\text{[math]}$ 的距离为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 3 D . $\text{[math]}$

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6. 若某物体作直线运动，路程 $\text{[math]}$ （单位：m）与时间t（单位：s）的关系由函数 $\text{[math]}$ 表示．当 $\text{[math]}$ s时，该物体的瞬时速度 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ m/s，则当 $\text{[math]}$ s时，该物体行驶的路程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知点P是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形ABCD的对角线BD上的一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . -1 D . -2

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8. 设随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列如下：

$\text{[math]}$

1

2

3

···

2020

2021

P

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

···

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

则下列说法错误的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 为等差数列时， $\text{[math]}$ B . 数列 $\text{[math]}$ 的通项公式可能为 $\text{[math]}$ C . 当数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）时， $\text{[math]}$ D . 当数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）时， $\text{[math]}$

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9. 已知 $\text{[math]}$ ，则下列各式一定成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）

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10. 若函数 $\text{[math]}$ 对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的一个零点为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减 C . $\text{[math]}$ 是偶函数 D . $\text{[math]}$ 的一条对称轴为 $\text{[math]}$

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11. 某校对“学生性别和喜欢锻炼是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢锻炼的人数占男生总人数的 $\text{[math]}$ ，女生喜欢锻炼的人数占女生总人数的 $\text{[math]}$ ．若至少有95%的把握认为“学生性别和喜欢锻炼有关”，则被调查学生中男生的人数可能为（）
附： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

0.050

0.010

$\text{[math]}$

3.841

6.635

A . 35 B . 40 C . 45 D . 50

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12. 已知定义在R上的奇函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，则“对于任意的 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立”的充分不必要条件可以是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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13. 写出一个渐近线方程为 $\text{[math]}$ 的双曲线标准方程．

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14. $\text{[math]}$ 的展开式中的常数项为－80，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 下图为某月牙潭的示意图，该月牙潭是由两段在同一平面内的圆弧形堤岸连接围成，其中外堤岸为半圆形，内堤岸圆弧所在圆的半径为30米，两堤岸的连接点A，B间的距离为 $\text{[math]}$ 米，则该月牙潭的面积为平方米．

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16. 已知矩形ABCD中， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折至 $\text{[math]}$ 的位置，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，在翻折过程中，当 $\text{[math]}$ 为正三角形时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积是.

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17. 如图，在平面四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求角 $\text{[math]}$ 的大小．

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18. 已知数列{ $\text{[math]}$ }的前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ =2， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是不为0的常数．

（1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（2）求出 $\text{[math]}$ 的一个值，以使得{ $\text{[math]}$ }为等比数列，并证明之．

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19. 某工厂为A公司生产某种零件．现准备交付一批（1000个）刚出厂的该零件，质检员从中抽取了100个，测量并记录了它们的尺寸（单位：mm），统计结果如下表：

零件的尺寸

（2，2.03]

（2.03，2.06]

（2.06，2.09]

2.09以上

零件的个数

4

36

56

4

（1）将频率视为概率，设该批零件的尺寸不大于2.06mm的零件数为随机变量X，求X的数学期望；

（2）假设该厂生产的该零件的尺寸 $\text{[math]}$ ．根据A公司长期的使用经验，该厂提供的每批该零件中， $\text{[math]}$ 的零件为不合格品，约占整批零件的10%，其余尺寸的零件均为合格品.请估计 $\text{[math]}$ 的值（结果保留三位小数）．
附：若 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

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20. 如图，在四棱锥P－ABCD中，CD//AB， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）证明：BD $\text{[math]}$ 平面PAD；

（2）设平面PAD $\text{[math]}$ 平面PBC $\text{[math]}$ l， $\text{[math]}$ 平面ABCD $\text{[math]}$ G， $\text{[math]}$ ．在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点M，使得二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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21. 在圆 $\text{[math]}$ 上任取一点T，过点T作x轴的垂线段TD，D为垂足，点P为线段TD的中点．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）斜率为 $\text{[math]}$ 且不过原点O的直线l交曲线C于A，B两点，线段AB的中点为 $\text{[math]}$ ，射线OE交曲线C于点M，交直线 $\text{[math]}$ 于点N，且 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到直线l的距离d的最大值．

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22. 曲线的曲率定义如下：若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数，令 $\text{[math]}$ ，则曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的曲率 $\text{[math]}$ ．已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的曲率 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值，并证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

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湖南省永州市2021届高三下学期数学三模试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

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$\text{[math]}$	1	2	3	···	2020	2021
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	···	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

零件的尺寸	（2，2.03]	（2.03，2.06]	（2.06，2.09]	2.09以上
零件的个数	4	36	56	4

$\text{[math]}$	0.050	0.010
$\text{[math]}$	3.841	6.635

湖南省永州市2021届高三下学期数学三模试卷

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