上海市静安区2021届高三上学期数学一模试卷

1. 已知 $\text{[math]}$ ，命题：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 的逆否命题是．

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2. $\text{[math]}$ 的展开式中的常数项是.

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3. 如图所示，弧长为 $\text{[math]}$ ，半径为1的扇形(及其内部)绕 $\text{[math]}$ 所在的直线旋转一周，所形成的几何体的表面积为.

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4. 设 $\text{[math]}$ 是虚数单位，复数 $\text{[math]}$ 为纯虚数，则实数 $\text{[math]}$ 为

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5. 在△ABC中，AB＝2，AC＝1，D为BC的中点，则 $\text{[math]}$ ＝.

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6. 某校的“希望工程”募捐小组在假期中进行了一次募捐活动.他们第一天得到15元，从第二天起，每一天收到的捐款数都比前一天多10元.要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要天.(结果取整)

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7. 某校开设9门选修课程，其中A ， B ， C三门课程由于上课时间相同，至多选一门，若规定每位学生选修4门，则一共有种不同的选修方案.

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8. 如图所示，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，动点 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 的角速度从点 $\text{[math]}$ 出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到 $\text{[math]}$ ，再以每秒 $\text{[math]}$ 的角速度从点 $\text{[math]}$ 沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点 $\text{[math]}$ ，则上述过程中动点 $\text{[math]}$ 的纵坐标 $\text{[math]}$ 关于时间 $\text{[math]}$ 的函数表达式为.

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9. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下面不等式中成立的一个是（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 下列四个选项中正确的是（）

A . 关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )的曲线是圆 B . 设复数 $\text{[math]}$ 是两个不同的复数，实数 $\text{[math]}$ ，则关于复数 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的所有解在复平面上所对应的点的轨迹是椭圆 C . 设 $\text{[math]}$ 为两个不同的定点， $\text{[math]}$ 为非零常数，若 $\text{[math]}$ ，则动点 $\text{[math]}$ 的轨迹为双曲线的一支 D . 双曲线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 有相同的焦点

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11. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆(圆心在坐标原点 $\text{[math]}$ )于A、B两点.若A、B两点的纵坐标分别为正数a、b ，且 $\text{[math]}$ ，则a+b的最大值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 不存在

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12. 如图所示，等腰梯形 $\text{[math]}$ 是由正方形 $\text{[math]}$ 和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点 $\text{[math]}$ 移至点 $\text{[math]}$ ，使二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ .

（1）求四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；

（2）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小.

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13. 设 $\text{[math]}$ ，其中常数 $\text{[math]}$ .

（1）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )的反函数；

（2）求证：当且仅当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 为奇函数.

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14. 如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ .张明在只有量角器(可以测量从测量人出发的两条射线的夹角)和直尺(可测量步行可抵达的两点之间的直线距离)的条件下，为了计算塔 $\text{[math]}$ 的高度，他在点A测得点 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，又选择了相距100米的 $\text{[math]}$ 点，测得 $\text{[math]}$ .

（1）请你根据张明的测量数据求出塔 $\text{[math]}$ 高度；

（2）在完成（1）的任务后，张明测得 $\text{[math]}$ ，并且又选择性地测量了两个角的大小(设为 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ).据此，他计算出了两塔顶之间的距离 $\text{[math]}$ .
请问：①张明又测量了哪两个角？(写出一种测量方案即可)

②他是如何用 $\text{[math]}$ 表示出 $\text{[math]}$ 的？(写出过程和结论)

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15. $\text{[math]}$ 个正数排成 $\text{[math]}$ 行 $\text{[math]}$ 列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数 $\text{[math]}$ 的等比数列.
$\text{[math]}$

已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）设 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )；

（3）设 $\text{[math]}$ ，请用数学归纳法证明： $\text{[math]}$ .

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16. 如图所示，定点 $\text{[math]}$ 到定直线 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ .动点 $\text{[math]}$ 到定点 $\text{[math]}$ 的距离等于它到定直线 $\text{[math]}$ 距离的2倍.设动点 $\text{[math]}$ 的轨迹是曲线 $\text{[math]}$ .

（1）请以线段 $\text{[math]}$ 所在的直线为 $\text{[math]}$ 轴，以线段 $\text{[math]}$ 上的某一点为坐标原点 $\text{[math]}$ ，建立适当的平面直角坐标系 $\text{[math]}$ ，使得曲线 $\text{[math]}$ 经过坐标原点 $\text{[math]}$ ，并求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）请指出（1）中的曲线 $\text{[math]}$ 的如下两个性质：①范围；②对称性.并选择其一给予证明.

（3）设（1）中的曲线 $\text{[math]}$ 除了经过坐标原点 $\text{[math]}$ ，还与 $\text{[math]}$ 轴交于另一点 $\text{[math]}$ ，经过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交曲线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求证： $\text{[math]}$ .

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上海市静安区2021届高三上学期数学一模试卷

一、填空题

二、单选题

三、解答题

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