天津市南开区2021届高三下学期数学一模试卷

1. 设全集为 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . 0 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. 函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，则 $\text{[math]}$ 的解析式可能是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 某校抽取100名学生做体能测认，其中百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：第一组 $\text{[math]}$ ，第二组 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，第五组 $\text{[math]}$ ．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩低于 $\text{[math]}$ 即为优秀，如果优秀的人数为14人，则 $\text{[math]}$ 的估计值是（）

A . 14 B . 14.5 C . 15 D . 15.5

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5. 已知一个圆锥的底面半径为2，高为3，其体积大小等于某球的表面积大小，则此球的体积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 4π D . $\text{[math]}$

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6. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 2

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8. 设直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与双曲线 $\text{[math]}$ 的两条渐近线分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，则该双曲线的离心率是（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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9. 已知函数 $\text{[math]}$ 若方程 $\text{[math]}$ 有5个不等实根，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. $\text{[math]}$ 是虚数单位，复数 $\text{[math]}$ 的共轭复数为．

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11. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中，常数项为．

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12. 已知过点 $\text{[math]}$ 的直线与圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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13. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是．

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14. 对某种型号的仪器进行质量检测，每台仪器最多可检测3次，一旦发现问题，则停止检测，否则一直检测到3次为止，设该仪器一次检测出现问题的概率为0.2，则检测2次停止的概率为；设检测次数为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的数学期望为．

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15. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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16. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 对边的边长分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ．

（1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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17. 如图所示，四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；

（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值；

（3）设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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18. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，右顶点为点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，延长线段 $\text{[math]}$ 交椭圆于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线上一点， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交椭圆于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，求椭圆的标准方程．

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19. 已知等比数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）求证：数列 $\text{[math]}$ 为等差数列，并求 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项和的最大值；

（3）求 $\text{[math]}$ ．

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20. 已知曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，曲线在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的解析式；

（2）求函数 $\text{[math]}$ 的极值；

（3）设 $\text{[math]}$ ，若存在实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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天津市南开区2021届高三下学期数学一模试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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