天津市和平区2021届高三下学期数学一模试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . {0} B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 设 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. 某校高三年级的全体学生参加体育测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若低于60分的人数是90，则该校高三年级的学生人数是（）

A . 270 B . 300 C . 330 D . 360

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4. 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的图象大致为（）

A . B . C . D .

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5. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 4 D . 6

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7. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的准线经过双曲线 $\text{[math]}$ 的一个焦点，且双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 设函数 $\text{[math]}$ ，给出下列结论：
① $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内单调递增；③将函数 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，可得到函数 $\text{[math]}$ 的图象.

其中所有正确结论的序号是（）

A . ①② B . ①③ C . ②③ D . ①②③

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9. 已知 $\text{[math]}$ ，设函数 $\text{[math]}$ ，若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 恰有两个互异的实数解，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 设i是虚数单位，复数 $\text{[math]}$ 的虚部等于．

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11. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数是.

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12. 已知直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，则线段 $\text{[math]}$ 的长度为.

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13. 甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为 $\text{[math]}$ ，乙同学一次投篮命中的概率为 $\text{[math]}$ ，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是.

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14. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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15. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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16. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）求 $\text{[math]}$ ；

（3）求 $\text{[math]}$ 的值.

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17. 如图，在四棱柱 $\text{[math]}$ 中，已知侧棱 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；

（3）若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.

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18. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ .

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）设经过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 不与坐标轴垂直，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，经过坐标原点 $\text{[math]}$ 作射线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，若四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.

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19. 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等差数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）设 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
①当 $\text{[math]}$ 是奇数时，求 $\text{[math]}$ 的最大值；

②求证： $\text{[math]}$ .

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20. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，
①求 $\text{[math]}$ 的极值，并写出直线 $\text{[math]}$ 的方程；

②若对任意的 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；

（2）若函数 $\text{[math]}$ 有且只有两个不同的零点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

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天津市和平区2021届高三下学期数学一模试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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