广东省梅州市2021届高三数学一模试卷

1. 设 $\text{[math]}$ 是虚数单位，若复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知全集为 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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3. 若干年前，某老师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该老师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该老师的月退休金为（）

A . 5000元 B . 5500元 C . 6000元 D . 6500元

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4. 若向量 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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5. 已知直线 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 与的图象的一条对称轴，为了得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，可把函数 $\text{[math]}$ 的图象（）

A . 向左平行移动 $\text{[math]}$ 个单位长度 B . 向右平行移动 $\text{[math]}$ 个单位长度 C . 向左平行移动 $\text{[math]}$ 个单位长度 D . 向右平行移动 $\text{[math]}$ 个单位长度

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6. $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若不等式 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列 $\text{[math]}$ 重新编辑，编辑新序列为 $\text{[math]}$ ，它的第 $\text{[math]}$ 项为 $\text{[math]}$ ，若序列 $\text{[math]}$ 的所有项都是2，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（）

A . 设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为两个定点， $\text{[math]}$ 为非零常数， $\text{[math]}$ ，则动点 $\text{[math]}$ 的轨迹为双曲线 B . 设定圆 $\text{[math]}$ 上一定点 $\text{[math]}$ 作圆的动弦 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点，若 $\text{[math]}$ ，则动点 $\text{[math]}$ 的轨迹为椭圆 C . 方程 $\text{[math]}$ 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D . 双曲线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 有相同的焦点

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11. 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动时，下列命题正确的是（）

A . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积不变 B . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小不变 C . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角的大小不变 D . 二面角 $\text{[math]}$ 的大小不变

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12. 某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（）

第1节	第2节	第3节	第4节
地理1班	化学A层3班	地理2班	化学A层4班
生物A层1班	化学B层2班	生物B层2班	历史B层1班
物理A层1班	生物A层3班	物理A层2班	生物A层4班
物理B层2班	生物B层1班	物理B层1班	物理A层4班
政治1班	物理A层3班	政治2班	政治3班

A . 此人有4种选课方式 B . 此人有5种选课方式 C . 自习不可能安排在第2节 D . 自习可安排在4节课中的任一节

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13. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. 设曲线 $\text{[math]}$ 在点（0，1）处的切线与曲线 $\text{[math]}$ 上点 $\text{[math]}$ 处的切线垂直，则 $\text{[math]}$ 的坐标为．

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15. 《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是弧田面积计算公式为：弧田碸 $\text{[math]}$ （弦 $\text{[math]}$ 矢 $\text{[math]}$ 矢 $\text{[math]}$ 矢）.弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弧田弦 $\text{[math]}$ 等于6米，其弧田弧所在圆为圆 $\text{[math]}$ ，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为 $\text{[math]}$ 平方米，则 $\text{[math]}$ .

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16. 已知球 $\text{[math]}$ 是三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ，则球 $\text{[math]}$ 的表面积为.

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17. 在① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知 $\text{[math]}$ 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________，且a，b，c成等差数列，则 $\text{[math]}$ 是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）证明数列 $\text{[math]}$ 为等比数列并求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．

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19. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．把 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求 $\text{[math]}$ 所在直线与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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20. 某电子产品加工厂购买配件 $\text{[math]}$ 并进行甲、乙两道工序处理，若这两道工序均处理成功，则该配件加工成型，可以直接进入市场销售；若这两道工序均处理不成功，则该配件报废；若这两道工序只有一道工序处理成功，则该配件需要拿到丙部门检修，若检修合格，则该配件可以进入市场销售，若检修不合格，则该配件报废．根据以往经验，对于任一配件 $\text{[math]}$ ，甲、乙两道工序处理的结果相互独立，且处理成功的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，丙部门检修合格的概率为 $\text{[math]}$ ．

（1）求该工厂购买的任一配件 $\text{[math]}$ 可以进入市场销售的概率．

（2）已知配件 $\text{[math]}$ 的购买价格为80元/个，甲、乙两道工序的处理成本均为8元/个，丙部门的检修成本为 $\text{[math]}$ 元个，若配件 $\text{[math]}$ 加工成型进入市场销售，售价可达200元/个；若配件 $\text{[math]}$ 报废，要亏损购买成本以及加工成本．若市场大量需求配件 $\text{[math]}$ 的成型产品，试估计该工厂加工5000个配件 $\text{[math]}$ 的利润．（利润 $\text{[math]}$ 售价 $\text{[math]}$ 购买价格 $\text{[math]}$ 加工成本）

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21. 给定椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），称圆心在原点 $\text{[math]}$ ，半径为 $\text{[math]}$ 圆是椭圆 $\text{[math]}$ 的“卫星圆”.若椭圆 $\text{[math]}$ 的一个焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上.

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程和其“卫星圆”方程；

（2）点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的“卫星圆”上的一个动点，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 都只有一个交点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交其“卫星圆”于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .试探究： $\text{[math]}$ 的长是否为定值？若为定值，写出证明过程；若不是，说明理由.

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；

（2）不等式 $\text{[math]}$ 对于 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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广东省梅州市2021届高三数学一模试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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