广东省广州市天河区2021届高考数学二模试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ 为虚数单位，且 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 设 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约 $\text{[math]}$ 的能量能够流到下一个营养级.在 $\text{[math]}$ 这个生物链中，若能使 $\text{[math]}$ 获得 $\text{[math]}$ 的能量，则需 $\text{[math]}$ 提供的能量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 在某次数学测试中，学生成绩 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为（）

A . 0.16 B . 0.24 C . 0.32 D . 0.48

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6. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（）

A . 54种 B . 60种 C . 72种 D . 96种

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8. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左､右顶点分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，右焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在过 $\text{[math]}$ 且垂直于 $\text{[math]}$ 轴的直线 $\text{[math]}$ 上，当 $\text{[math]}$ 的外接圆面积达到最小时，点 $\text{[math]}$ 恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 设向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 B . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调递增 C . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的值域为 $\text{[math]}$ D . 把函数 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度可得到函数 $\text{[math]}$ 的图象

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11. 如图，已知长方体 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.则（）

A . $\text{[math]}$ B . 点 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 四点共面 C . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值为 $\text{[math]}$ D . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$

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12. 定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值可能是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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13. 过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点作一条直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的中点M的横坐标为2，则 $\text{[math]}$ 等于.

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14. 写出一个满足前5项的和为10，且递减的等差数列的通项 $\text{[math]}$ .

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15. 已知三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的外接圆的圆心， $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为.

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程为.

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17. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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18. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 周长的最大值.

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19. 某市场研究人员为了了解共享单车运营公司 $\text{[math]}$ 的经营状况，对该公司近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图.

参考公式及数据：回归直线方程为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

（1）月市场占有率 $\text{[math]}$ 与月份代码 $\text{[math]}$ 符合线性回归模型拟合的关系，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的线性回归方程，并预测 $\text{[math]}$ 公司2021年3月份(即 $\text{[math]}$ 时)的市场占有率；

（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的 $\text{[math]}$ 两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆报废年限各不相同.考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：

报废年限	1年	2年	3年	4年
$\text{[math]}$ 型车(辆)	20	35	35	10
$\text{[math]}$ 型车(辆)	10	30	40	20

经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元.不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以每辆单车使用寿命的频率作为每辆单车使用寿命的概率.如果你是 $\text{[math]}$ 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？

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20. 如图1，四边形 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ .将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，得到四棱锥 $\text{[math]}$ (如图2)，使得 $\text{[math]}$ .

（1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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21. 设 $\text{[math]}$ 为坐标原点，已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左，右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 是底角为 $\text{[math]}$ 的等腰三角形.

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率；

（2）若 $\text{[math]}$ ，设不与 $\text{[math]}$ 轴重合的直线 $\text{[math]}$ 过椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点 $\text{[math]}$ ，与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 两点，与圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

（1）讨论函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性；

（2）若函数 $\text{[math]}$ ，则是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得极小值？若存在，求出 $\text{[math]}$ 值；若不存在，说明理由.

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广东省广州市天河区2021届高考数学二模试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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