2015年湖南省郴州市高考数学模拟试卷（理科）（三）

1. 若集合P={y|y≥0}，且P∪Q=Q，则集合Q可能是（　　）

A . {y|y=x²+1} B . {y|y=2^x} C . {y|y=lgx} D . ∅

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2. 函数 $\text{[math]}$ 的图象（　　）

A . 关于原点对称 B . 关于直线y=x对称 C . 关于x轴对称 D . 关于y轴对称

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3. 下列结论中错误的是（　　）

A . 设命题p：∃x∈R，使 $\text{[math]}$ +x+2＜0，则￢P：∀x∈R，都有 $\text{[math]}$ +x+2≥0 B . 若x，y∈R，则“x=y”是“xy≤ $\text{[math]}$ 取到等号”的充要条件 C . 已知命题p和q，若p∧q为假命题，则命题p与q都为假命题 D . 命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为真命题

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4.
执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，那么输出的a值为（　　）

A . 4 B . 16 C . 256 D . log₃16

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5. 如果函数y=|cos（ωx+ $\text{[math]}$ ）|的图象关于直线x=π对称，则正实数ω的最小值是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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6. 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均为单位向量，且满足 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，则（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）的最大值是（　　）

A . 2+2 $\text{[math]}$ B . 2+ $\text{[math]}$ C . 3+ $\text{[math]}$ D . 1+2 $\text{[math]}$

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7. 数列{a_n}共有5项，其中a₁=0，a₅=2，且|a_i+1﹣a_i|=1，i=1，2，3，4，则满足条件的不同数列的个数为（　　）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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8. 已知点A(3， $\text{[math]}$ )，O是坐标原点，点P（x，y）的坐标满足 $\text{[math]}$ ，设z为 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影，则z的取值范围是（　　）

A . [- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ] B . [﹣3，3] C . [- $\text{[math]}$ ， 3] D . [-3， $\text{[math]}$ ]

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9. 定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e^xf（x）＞e^x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）

A . （0，+∞） B . （﹣∞，0）∪（3，+∞） C . （﹣∞，0）∪（0，+∞） D . （3，+∞）

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10. 若存在正整数T，对于任意正整数n都有a_n+T=a_n成立，则称数列{a_n}为周期数列，周期为T．已知数列{a_n}满足a₁=m（m＞0），a_n+1= $\text{[math]}$ ，关于下列命题：
①当m= $\text{[math]}$ 时，a₅=2
②若m= $\text{[math]}$ ，则数列{a_n}是周期为3的数列；
③对若a₂=4，则m可以取3个不同的值；
④∃m∈Q且m∈[4，5]，使得数列{a_n}是周期为6．
其中真命题的个数是（　　）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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11. 在极坐标系中，定点A（2， $\text{[math]}$ ），点B在直线ρcosθ+ $\text{[math]}$ ρsinθ=0上运动，则线段AB的最短长度为

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12.
如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于

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13. 若不等式|x+3|+|x﹣7|≥a²﹣3a的解集为R，则实数a的取值范围是

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14. 某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N（105，10²），已知p（95≤X≤105）=0.34，估计该班学生数学成绩在115分以上的有人．

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15. 在小语种自主招生考试中，某学校获得5个推荐名额，其中韩语2名，日语2名，俄语1名．并且日语和韩语都要求必须有女生参加．学校通过选拔定下3女2男共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有种．

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16. 已知函数f（x）=|xe^x|，方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围

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17.
某学校为准备参加市运动会，对本校高一、高二两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩（单位：cm）．跳高成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下定义为“不合格”．
（1）如果从所有运动员中用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共10人，问就抽取“合格”人数是多少？
（2）若从所有“合格”运动员中选取2名，用X表示所选运动员来自高一队的人数，试写出X的分布图，并求X的数学期望．

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18. 在△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，设函数f（x）= $\text{[math]}$ sin2x+cos2x，且f（ $\text{[math]}$ ）=2．
（1）若acosB+bcosA=csinC，求角B的大小；
（2）记g（λ）=| $\text{[math]}$ +λ $\text{[math]}$ |，若| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |=3，试求g（λ）的最小值．

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19.
如图所示，四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，对角线AC与BD交于点O，OA=3，OD=1，CD= $\text{[math]}$ ， SO⊥底面ABCD．
求证：SA⊥BD

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20. 在数列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=4且a_n ， b_n ， a_n+1成等差数列，b_n ， a_n+1 ， b_n+1成等比数列（n∈N^*）
（1）求a₂ ， a₃ ， a₄及b₂ ， b₃ ， b₄；由此归纳出{a_n}，{b_n}的通项公式，并证明你的结论．
（2）若c_n=log₂（ $\text{[math]}$ ），S_n=c₁+c₂+…+c_n ，试问是否存在正整数m，使S_m≥5，若存在，求最小的正整数m．

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21.
如图所示，已知椭圆C₁： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，C₂： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）有相同的离心率，F（﹣ $\text{[math]}$ ， 0）为椭圆C₂的左焦点，过点F的直线l与C₁、C₂依次交于A、C、D、B四点．
（1）求椭圆C₂的方程；
（2）求证：无论直线l的倾斜角如何变化恒有|AC|=|DB|

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22. 已知函数f（x）=alnx+ $\text{[math]}$ ， g（x）=x+lnx，其中a＞0，且x∈（0，+∞）．
（1）若a=1，求f（x）的最小值；
（2）若对任意x≥1，不等式f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围；

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2015年湖南省郴州市高考数学模拟试卷（理科）（三）

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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