江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

1. $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的（）

A . 充要条件 B . 充分不必要条件 C . 必要不充分条件 D . 既不充分也不必要条件

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2. $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数为（）

A . 70 B . -70 C . 120 D . -120

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3. 如图是容量为 $\text{[math]}$ 的样本的频率分布直方图，已知样本数据在 $\text{[math]}$ 内的频数是6，则样本数据落在 $\text{[math]}$ 的频数是（）

A . 6 B . 8 C . 9 D . 10

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4. 设 $\text{[math]}$ 是直线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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5. 直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 有且只有一个公共点，则 $\text{[math]}$ 的取值有（）个

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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6. 已知正三棱柱 $\text{[math]}$ ，底面正三角形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，侧棱 $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排四节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡一定安排，且这两种乐器互不相邻的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的两个焦点，若椭圆 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为 $\text{[math]}$ C . 双曲线 $\text{[math]}$ 的实轴长等于 $\text{[math]}$ D . 双曲线 $\text{[math]}$ 的准线为 $\text{[math]}$

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10. 给出下列命题，其中正确命题为（）

A . 投掷一枚均匀的硬币和均匀的骰子（形状为正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6）各一次，记硬币正面向上为事件A，骰子向上的点数是2为事件B，则事件A和事件B同时发生的概率为 $\text{[math]}$ B . 以模型 $\text{[math]}$ 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 $\text{[math]}$ ，将其变换后得到线性方程 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ C . 随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 某选手射击三次，每次击中目标的概率均为 $\text{[math]}$ ，且每次射击都是相互独立的，则该选手至少击中2次的概率为 $\text{[math]}$

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11. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 a，b，c， $\text{[math]}$ ，a=2，若满足条件的三角形有且只有一个，则边b的可能取值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 3

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12. 在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一个动点，则下列结论正确的是（）

A . 存在 $\text{[math]}$ 点使得异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ B . 存在 $\text{[math]}$ 点使得二面角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的二面角 C . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角正弦值的最大值为 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时，平面 $\text{[math]}$ 截正方体所得的截面面积为 $\text{[math]}$

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13. 作家马伯庸小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息.现要求每一行、每一列上都有且只有1个紫色小方格（如图所示即满足要求）.则一共可以传递种信息.（用数字作答）

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14. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，若点P为椭圆C上的一个动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的距离为 $\text{[math]}$ .

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16. 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长均为 $\text{[math]}$ ，其内有9个小球，球 $\text{[math]}$ 与正方体 $\text{[math]}$ 的六个面都相切，球 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与正方体 $\text{[math]}$ 三个面和球 $\text{[math]}$ 都相切，则球 $\text{[math]}$ 的体积等于，球 $\text{[math]}$ 的表面积等于.

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17. 请从下列条件中选取一个条件补充在横线上，并解决你组成的问题：
① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

问题：在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，且________.

求：

（1） a的值；

（2） $\text{[math]}$ 的面积.

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18. 如图，四面体 $\text{[math]}$ 中，O是 $\text{[math]}$ 的中点，点G、E分别在线段AO和BC上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

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19. 已知直线 $\text{[math]}$ 过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，且与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点.

（1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 面积取得最小值时直线 $\text{[math]}$ 的方程.

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20. 为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取50名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）：

	使用手机	不使用手机	总计
学习成绩优秀	5	20
学习成绩一般
总计		30	50

（1）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有 $\text{[math]}$ 的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；

（2）现从上表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出9人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中“学习成绩优秀”的人数为 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的分布列与数学期望.

参考公式： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

参考数据：

$\text{[math]}$	0.050	0.010	0.001
$\text{[math]}$	3.841	6.6935	10.828

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21. 如图，在棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为平行四边形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在底面上的投影 $\text{[math]}$ 恰为 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的大小.

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22. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点是椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右顶点， $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 的另一交点为 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 不为点 $\text{[math]}$ 时，过 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ .

（1）证明：直线 $\text{[math]}$ 过定点 $\text{[math]}$ ；

（2）过（1）中的定点 $\text{[math]}$ 作斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，设直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 是否为定值？如果是定值，求出定值.

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江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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