广东省2021届高三数学普通高中学业质量联合测评（11月大联考)试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ ，复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . -2

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3. 已知 $\text{[math]}$ 是第二象限的角， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知各项均为正数的等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 16 B . 12 C . 8 D . 4

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5. 在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（）

A . 8种 B . 12种 C . 20种 D . 24种

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6. 我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦.弦者，葛之长”意思是：今有2丈长的圆木，其横截面周长3尺，葛藤从圆木底端绕圆木7周至顶端，问葛藤有多长？九章算术还有解释：七周乘以三尺为股（直角三角形较长的直角边），木棍的长为勾（直角三角形较短的直角边），葛的长为弦（直角三角形的斜边）（注：1丈=10尺）（）

A . 29尺 B . 27尺 C . 23尺 D . 21尺

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7. 已知平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )的焦点为 $\text{[math]}$ ，准线为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线交抛物线于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . 5 D . $\text{[math]}$

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9. 已知 $\text{[math]}$ ，下列不等式成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 如图为某市2020年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断，则判断错误的为（）

A . 日成交量的中位数是16 B . 日成交量超过日平均成交量的有2天 C . 10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅 D . 日认购量的方差大于日成交量的方差

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11. 设函数 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个对称中心 B . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 C . 函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的值域为 $\text{[math]}$ D . 先将 $\text{[math]}$ 的图象的横坐标缩短为原来的 $\text{[math]}$ ，然后向左平移 $\text{[math]}$ 个单位得到 $\text{[math]}$ 的图象

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12. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 作三棱柱的截面 $\text{[math]}$ ，则下列结论中正确的是（）

A . 三棱柱 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 将三棱柱 $\text{[math]}$ 分成体积较大部分和体积较小部分的体积比为 $\text{[math]}$

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13. 已知正实数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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14. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )的右焦点为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为坐标原点)为直径的圆与双曲线的两渐近线分别交于 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 两点(不同于原点).若 $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为.

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 有四个零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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16. 已知 $\text{[math]}$ 的所有项的系数的和为64，则 $\text{[math]}$ ，展开式中 $\text{[math]}$ 项的系数为.

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17. 在条件① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，，求 $\text{[math]}$ 的面积.

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18. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 是以1为首项，公差为1的等差数列.

（1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

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19. 如图所示，四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）若点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .

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20. 为落实十三五规划节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计，随机抽取A型和B型设备各100台，得到如下频率分布直方图：

参考公式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

参考数据：

$\text{[math]}$	0.050	0.010	0.001
$\text{[math]}$	3.841	6.635	10.828

（1）将使用寿命超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表：

	超过2500小时	不超过2500小时	总计
A型
B型
总计

根据上面的列联表，能否有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关？

（2）用分层抽样的方法从不超过2500小时A型和B型设备中抽取8台，再从这8台设备中随机抽取3台，其中A型设备为 $\text{[math]}$ 台，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；

（3）已知用频率估计概率，现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时才能完成，工作期间设备损坏立即更换同型号设备(更换设备时间忽略不计)，A型和B型设备每台的价格分别为1万元和0.6万元，A型和B型设备每台每小时耗电分别为2度和6度，电价为0.75元/度.只考虑设备的成本和电费，你认为应选择哪种型号的设备，请说明理由.

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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )的焦距为 $\text{[math]}$ ，过左顶点且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线和以椭圆的右顶点 $\text{[math]}$ 为圆心，短半轴为半径的圆相切.

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）若过点 $\text{[math]}$ 作两条互相垂直的直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，分别交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，问 $\text{[math]}$ 轴上是否存在一定点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，若存在，则求出该定点 $\text{[math]}$ ，若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 在点(0， $\text{[math]}$ )处的切线方程；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ 的极大值点为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

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广东省2021届高三数学普通高中学业质量联合测评（11月大联考)试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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