山东省日照市五莲县2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

1. 若向量 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ ，且满足向量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . 1 B . -1 C . 2 D . -2

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2. 点(0，﹣1)到直线 $\text{[math]}$ 距离的最大值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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3. 已知向量 $\text{[math]}$ 为平面 $\text{[math]}$ 的法向量，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆 $\text{[math]}$ 的中心为原点，焦点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均在 $\text{[math]}$ 轴上， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的周长为8．则 $\text{[math]}$ 的标准方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 $\text{[math]}$ ，则点C的轨迹为（）

A . 圆 B . 椭圆 C . 抛物线 D . 直线

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6. 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，则（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 台风中心从A地以每小时20km的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险地区，若城市B在A地正东40km处，则B城市处于危险区内的时间为（）

A . 0.5h B . 1h C . 1.5h D . 2h

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8. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P是C的右支上一点，连接 $\text{[math]}$ 与y轴交于点M，若 $\text{[math]}$ （O为坐标原点）， $\text{[math]}$ ，则双曲线C的渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ .（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 平行 B . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 平行 C . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 垂直 D . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 垂直

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10. 已知曲线 $\text{[math]}$ .（）

A . 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B . 若m=n>0，则C是圆，其半径为 $\text{[math]}$ C . 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 $\text{[math]}$ D . 若m=0，n>0，则C是两条直线

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11. 在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ //平面 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离相等

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12. 我们通常称离心率为 $\text{[math]}$ 的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为左、右顶点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为上、下顶点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 轴，且 $\text{[math]}$ D . 四边形 $\text{[math]}$ 的内切圆过焦点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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13. 抛物线 $\text{[math]}$ 的准线方程是．

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14. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点共线，则 $\text{[math]}$ =．

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15. 已知F为双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为.

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16. 2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图： $\text{[math]}$ 是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在 $\text{[math]}$ 轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S､圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d=．

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17. 已知直线 $\text{[math]}$ 经过两条直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的交点，且与直线 $\text{[math]}$ 垂直.

（1）求直线 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）若圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且圆心在 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上，直线 $\text{[math]}$ 被该圆所截得的弦长为 $\text{[math]}$ ，求圆 $\text{[math]}$ 的标准方程.

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18. 已知长方体 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；

（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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19. 已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 $\text{[math]}$ ，且一个焦点和短轴的两个端点构成面积为1的等腰直角三角形．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆C右焦点F作直线交椭圆C于点M，N，又直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点T，若 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长.

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20. 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 任意一点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .

（1）求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）设点 $\text{[math]}$ ，问是否存在过定点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相交于不同两点 $\text{[math]}$ ，无论直线 $\text{[math]}$ 如何运动， $\text{[math]}$ 轴都平分 $\text{[math]}$ ，若存在，求出 $\text{[math]}$ 点坐标，若不存在，请说明理由.

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21. 如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°，AD= ，EF=2.

（1）求证：AE∥平面DCF；

（2）当AB的长为何值时，二面角A—EF—C的大小为60°?

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22. 已知抛物线C： $\text{[math]}$ 的焦点F与椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点重合，点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 的准线上任意一点，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与抛物线 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的标准方程；

（2）设直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 为定值；

（3）求 $\text{[math]}$ 的最小值.

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山东省日照市五莲县2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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