北京市第四中2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

1. 已知向量 $\text{[math]}$ ，则下列向量与 $\text{[math]}$ 垂直的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 平行，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . -1 C . 4 D . -4

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3. 已知m，n表示两条不同直线， $\text{[math]}$ 表示平面，下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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4. 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么必有（）

A . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

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5. 圆 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，则线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线的方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点共线，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . -1 C . -2 D . 0

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7. 下列命题正确的是（　　）

A . 若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B . 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C . 若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D . 若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

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8. 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点在第四象限，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图所示，在斜三棱柱ABCA₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，BC₁⊥AC，则点C₁在平面ABC上的射影H必在（）

A . 直线AB上 B . 直线BC上 C . 直线AC上 D . △ABC的内部

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10. 如图，在下列四个正方体中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为正方体的两个顶点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 不平行的是（）

A . B . C . D .

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11. 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的直线的倾斜角为.

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12. 圆心为 $\text{[math]}$ 且与直线 $\text{[math]}$ 相切的圆的方程为.

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13. 圆 $\text{[math]}$ 截直线 $\text{[math]}$ 所得弦长等于.

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14. 若空间向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共面，则 $\text{[math]}$ .

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15. 棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为．

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16. 三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两两垂直，且 $\text{[math]}$ .给出下列四个命题：

① $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ；

④三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ .

其中所有正确命题的序号为.

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17. 圆 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称的圆方程为.

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18. 已知 $\text{[math]}$ 的三个顶点分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且将 $\text{[math]}$ 分割成面积相等的两部分，则直线 $\text{[math]}$ 的方程是.

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19. 如图，梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 折起，设折起后点 $\text{[math]}$ 的位置为 $\text{[math]}$ ，且平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则下列四个命题中正确的是.

① $\text{[math]}$ ；

②三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

④平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

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20. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上在第一象限内的点， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的圆 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于另一点 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的横坐标的取值范围为.

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21. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

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22. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；

（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；

（3）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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23. 已知直角三角形 $\text{[math]}$ 的顶点坐标 $\text{[math]}$ ，直角顶点 $\text{[math]}$ ，顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上.

（1）求 $\text{[math]}$ 边所在的直线方程；

（2）设 $\text{[math]}$ 为直角三角形 $\text{[math]}$ 外接圆的圆心，求圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（3）已知 $\text{[math]}$ 与平行的直线 $\text{[math]}$ 交轴 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 点，交轴 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上任意一点，求三角形 $\text{[math]}$ 面积的取值范围.

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24. 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？如果存在，求 $\text{[math]}$ 的值；如果不存在，说明理由；

（3）若 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上任意一点，求证： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 一定不平行.

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25. 设 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .对1，2，…， $\text{[math]}$ 的一个排列 $\text{[math]}$ ，如果当 $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ ，则称（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）是排列 $\text{[math]}$ 的一个逆序，排列 $\text{[math]}$ 的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则排列231的逆序数为2.记 $\text{[math]}$ 为1，2，…， $\text{[math]}$ 的的所有排列中逆序数为 $\text{[math]}$ 的全部排列的个数.

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小，并说明理由；

（3）求 $\text{[math]}$ 的表达式（用 $\text{[math]}$ 表示）.

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北京市第四中2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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