山东省临沂市2020-2021学年高三上学期数学期中考试试卷

1. 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在复平面上对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 已知命题 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是增函数，则 $\text{[math]}$ 为（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是减函数 B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是增函数 C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不是增函数 D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不是增函数

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5. 若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图， $\text{[math]}$ 是单位圆 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是半圆弧 $\text{[math]}$ 上的两个三等分点，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的 $\text{[math]}$ 倍，若视力4.2的视标边长为 $\text{[math]}$ ，则视力5.1的视标边长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 定义在 $\text{[math]}$ 上的偶函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则不等式组 $\text{[math]}$ 的解集为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 下列结论正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是钝角三角形 B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点共线

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10. 在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境（如图）假设行李包所受重力均为 $\text{[math]}$ ，两个拉力分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ．则以下结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的范围为 $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

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11. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为非零常数），则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 是等比数列 B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 记函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的定义域的交集为 $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ，使得对任意 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 恒成立，则称 $\text{[math]}$ 构成“相关函数对”．下列所给的两个函数构成“相关函数对”的有（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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13. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在公共点 $\text{[math]}$ 处有公切线，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形 $\text{[math]}$ 的斜边 $\text{[math]}$ 、直角边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在以 $\text{[math]}$ 为直径的半圆上.已知以直角边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为直径的两个半圆的面积之比为3， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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16. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需要8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数）， $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时，试确定使得 $\text{[math]}$ 需要步雹程；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 所有可能的取值所构成的集合 $\text{[math]}$ .

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17. 在① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.
问题：已知 $\text{[math]}$ 的三边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的角分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，______，求 $\text{[math]}$ 的面积.

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18. 已知函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ ，最大值为1

（1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值，并求 $\text{[math]}$ 的单调递增区间；

（2）将 $\text{[math]}$ 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 $\text{[math]}$ 倍，再将得到的图象上所有点向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到 $\text{[math]}$ 的图象．若 $\text{[math]}$ ，求满足 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ 是奇函数，且有三个零点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（2）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处有极大值 $\text{[math]}$ ，求当 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 的值域．

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20. 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间 $\text{[math]}$ 、人的反应时间 $\text{[math]}$ 、系统反应时间 $\text{[math]}$ 、制动时间 $\text{[math]}$ ，相应的距离分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如下图所示．当车速为 $\text{[math]}$ （米/秒），且 $\text{[math]}$ 时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数 $\text{[math]}$ 随地面湿滑程度等路面情况而变化， $\text{[math]}$ ）．

阶段	0.准备	1.人的反应	2.系统反应	3.制动
时间	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$ 秒	$\text{[math]}$ 秒	$\text{[math]}$
距离	$\text{[math]}$ 米	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$ 米

（1）请写出报警距离 $\text{[math]}$ （米）与车速 $\text{[math]}$ （米/秒）之间的函数关系式 $\text{[math]}$ ；并求当 $\text{[math]}$ ，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间（精确到0.1秒）；

（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？

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21. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间插入 $\text{[math]}$ 个数，使这 $\text{[math]}$ 个数组成一个公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列，在数列 $\text{[math]}$ 中是否存在3项 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ 的最大值是0，求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）若对其定义域内任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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山东省临沂市2020-2021学年高三上学期数学期中考试试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、双空题

五、解答题

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