北京市朝阳区2021届高三上学期数学期中质量检测试卷

修改时间：2024-07-13 浏览次数：189 类型：期中考试编辑

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一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ 则sin2x=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 如图，在△ABC中，D是BC的中点.若 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. “lna>lnb”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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6. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象与直线y=1的相邻两个交点间的距离等于π，则f(x)的图象的一条对称轴是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 在△ABC中，AB=4，AC=3，且 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ （）

A . -12 B . -9 C . 9 D . 12

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8. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x∈( $\text{[math]}$ ∞，0]时， $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知函数 $\text{[math]}$ 若存在实数m，使得 $\text{[math]}$ 成立，则实数a的取值范围是（）

A . [-1，+∞) B . (-∞，-1]∪[3，+∞) C . [-1，3] D . (-∞，3]

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10. 已知奇函数f(x)的定义域为 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 是f(x)的导函数.若对任意 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ 则满足 $\text{[math]}$ 的θ的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

11. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ .

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12. 设 $\text{[math]}$ 是公差为d的等差数列， $\text{[math]}$ 为其前n项和.能说明“若d>0，则数列 $\text{[math]}$ 为递增数列”是假命题的一组 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值为.

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13. 公元前2世纪的古希腊天文学家和数学家希帕科斯是三角学的创立者之一，他因天文观测的需要编制了有关三角比率的表格.后人推测希帕科斯在编制表格的过程中本质上使用了公式 $\text{[math]}$ 如图是希帕科斯推导此公式时使用的几何图形，已知点B在以线段AC为直径的圆O上，D为弧BC的中点，点E在线段AC上且AE=AB，点F为EC的中点.设OA= $\text{[math]}$ 给出下列四个结论：① $\text{[math]}$ ②AB=2rsinα；③CF=r(1-cosα)； ④ $\text{[math]}$ 其中，正确结论的序号是.

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三、双空题

14. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为，此时x的值为.

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15. 在一个房间使用某种消毒剂后，该消毒剂中的某种药物含量y(mg/m³)随时间t(h)变化的规律可表示为 $\text{[math]}$ 如图所示，则a=；

实验表明，当房间中该药物含量不超过0.75 mg/m³时对人体无害，为了不使人体受到该药物的伤害，则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过小时方可进入.

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四、解答题

16. 已知函数 $\text{[math]}$

（1）求 $\text{[math]}$ 及f(x)的最小正周期；

（2）若 $\text{[math]}$ 求f(x)的值域.

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17. 已知 $\text{[math]}$ 是等差数列， $\text{[math]}$ 是各项都为正数的等比数列， $\text{[math]}$ 再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知.

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式;

（2）求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和.
条件①: $\text{[math]}$ ；条件②: $\text{[math]}$ ；条件③: $\text{[math]}$

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18. 在△ABC中，AB=2，AC=3.

（1）若B=60°，
(i)求BC;

(ii)设D是边BC上一点，且∠ADC=120°，求 $\text{[math]}$ ;

（2）若AE是△ABC的内角平分线，求AE的取值范围.

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19. 已知函数f(x)=x+alnx(a∈R).

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求函数f(x)的极值;

（2）若不等式 $\text{[math]}$ 对任意x>0恒成立，求a的取值范围.

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20. 已知函数 $\text{[math]}$ b∈R).

（1）当 $\text{[math]}$ 时，判断函数f(x)在区间 $\text{[math]}$ 内的单调性；

（2）已知曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$
(i)求f(x)的解析式；

(ii)判断方程 $\text{[math]}$ 1在区间(0，2π]上解的个数，并说明理由.

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21. 已知数列 $\text{[math]}$ 是无穷数列，其前n项和为 $\text{[math]}$ 若对任意的正整数 $\text{[math]}$ ，存在正整数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )使得 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 是“S数列".

（1）若 $\text{[math]}$ 判断数列 $\text{[math]}$ 是否是“S数列”，并说明理由;

（2）设无穷数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，证明数列 $\text{[math]}$ 不是“S数列";

（3）证明:对任意的无穷等差数列 $\text{[math]}$ ，存在两个“S数列" $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立.

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