湖南省永州市2020-2021学年高三上学期数学第一次模拟试卷

1. 已知全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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3. 已知向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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4. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为 $\text{[math]}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 3

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5. 某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有（）

A . 320种 B . 360种 C . 370种 D . 390种

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6. 苏格兰数学家科林麦克劳林(Colin Maclaurin)研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式： $\text{[math]}$ ，试根据此公式估计下面代数式 $\text{[math]}$ 的近似值为（）（可能用到数值 $\text{[math]}$ ）

A . 2.788 B . 2.881 C . 2.886 D . 2.902

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7. 在四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该四面体的外接球的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知 $\text{[math]}$ 为定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 2020年新型冠状病毒肺炎疫情对消费饮食行业造成了很大影响，为了解A，B两家大型餐饮店受影响的程度，现统计了2020年2月到7月A，B两店每月营业额，得到如图所示的折线图，根据营业额折线图可知，下列说法正确的是（）

A . A店营业额的平均值超过B店营业额的平均值 B . A店营业额在6月份达到最大值 C . A店营业额的极差比B店营业额的极差小 D . A店5月份的营业额比B店5月份的营业额小

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10. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列关系中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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11. 若函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的两相邻对称轴之间的距离为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 有最大值，则下列结论成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 函数 $\text{[math]}$ 的一个单调递减区间为 $\text{[math]}$ C . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 D . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称

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12. 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点，椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，长轴长为 $\text{[math]}$ ，焦距为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上且满足 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于另一个点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上，则下列说法正确的是（）

A . 椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距为2 B . 三角形 $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$ C . 圆 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 的内部 D . 过点 $\text{[math]}$ 的圆 $\text{[math]}$ 的切线斜率为 $\text{[math]}$

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13. 在等比数列 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ＝.

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14. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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15. 甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，两人获一等奖的概率分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，若两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中恰有一人获得一等奖的概率为.

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16. 已知四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面是边长为4的正方形， $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为正方形 $\text{[math]}$ 内一点，若 $\text{[math]}$ //面 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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17. 请从① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决问题.
问题：在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$

（1）求 $\text{[math]}$ ；

（2）求 $\text{[math]}$ 的面积.
（注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.）

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18. 设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 组成一个 $\text{[math]}$ 项的等差数列，记其公差为 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

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19. 某市为了在全市营造“浪费可耻、节约为荣”的氛围，制定施行“光盘行动”有关政策，为进一步了解此项政策对市民的影响程度，市政府在全市随机抽取了100名市民进行调查，其中男士与女士的人数之比为 $\text{[math]}$ ，男士中有10人表示政策无效，女士中有25人表示政策有效.

参考公式： $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$	0.15	0.1.	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.072	2.706	3.842	5.024	6.635	7.879	10.828

（1）根据下列 $\text{[math]}$ 列联表写出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值，并判断能否有 $\text{[math]}$ 的把握认为“政策是否有效与性别有关”；

	政策有效	政策无效	总计
男生	$\text{[math]}$	10
女生	25	$\text{[math]}$
合计			100

（2）从被调查的市民中，采取分层抽样方法抽取 $\text{[math]}$ 名市民，再从这 $\text{[math]}$ 名市民中任意抽取 $\text{[math]}$ 名，对政策的有效性进行调研分析，设随机变量 $\text{[math]}$ 表示抽取到的 $\text{[math]}$ 名市民中女士的人数，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望.

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20. 已知在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 中点.三棱柱外一点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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21. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ .

（1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的标准方程；

（2）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交抛物线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点.过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别作抛物线 $\text{[math]}$ 的切线，两切线交于点 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 的准线交于第四象限的点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ 是自然对数的底数）.若函数 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线为 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线为 $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）若 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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湖南省永州市2020-2021学年高三上学期数学第一次模拟试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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