湖南省湘潭市2020-2021学年高三上学期理数第一次模拟试卷

1. 已知复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -3 B . -1 C . 1 D . 3

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2. 已知向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 2

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3. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. 已知正四棱锥 $\text{[math]}$ 的高为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则正四棱锥 $\text{[math]}$ 的侧面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . 2 B . 6 C . 3 D . 9

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7. 德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．最初遗忘速度很快，以后逐渐减慢．他认为“保持和遗忘是时间的函数”他用无意义音节（由若干音节字母组成、能够读出、但无内容意义即不是词的音节）作为记忆材料．用节省法计算保持和遗忘的数量，并根据他的实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线（如图所示）．若一名学生背了100个英语单词，一天后，该学生在这100个英语单词中随机听写2个英语单词，以频率代替概率，不考虑其他因素，则该学生恰有1个单词不会的概率大约为（）

A . 0.43 B . 0.38 C . 0.26 D . 0.15

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ 有两个极值点，则a的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知函数 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 图象的一条对称轴 D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增

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10. 某工厂组织员工进行专业技能比赛，下图是7位评委对甲、乙两位员工评分（满分10分）的雷达图．根据图中信息，下列说法正确的是（）

A . 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B . 甲得分的众数大于乙得分的众数 C . 甲得分的平均数与乙得分的平均数相等 D . 甲得分的极差小于乙得分的极差

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11. 设F是抛物线C： $\text{[math]}$ 的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 若点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是3 D . $\text{[math]}$ 的面积的最小值是2

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12. 在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，E，F分别为 $\text{[math]}$ 的中点，P是 $\text{[math]}$ 上的动点，则（）

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 平面 $\text{[math]}$ 截正方体 $\text{[math]}$ 的截面面积为18 C . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积与P点的位置有关 D . 过 $\text{[math]}$ 作正方体 $\text{[math]}$ 的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值为 $\text{[math]}$

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13. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中，含 $\text{[math]}$ 项的系数为．

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15. 若函数 $\text{[math]}$ 的图象在 $\text{[math]}$ 内恰有一条对称轴，则 $\text{[math]}$ 的最小值是．

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16. 已知双曲线C： $\text{[math]}$ 的右焦点为F，过点F的直线l： $\text{[math]}$ 与双曲线C的右支交于点A，且与y轴交于点B．若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，其中，O为坐标原点，则 $\text{[math]}$ ．

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17. 在① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求 $\text{[math]}$ 的面积．
问题：在 $\text{[math]}$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\text{[math]}$ ，？

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18. 甲、乙是两名射击运动员，根据历史统计数据，甲一次射击命中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 环的概率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，乙一次射击命中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 环的概率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．一轮射击中，甲、乙各射击一次．甲、乙射击相互独立，每次射击也互不影响．

（1）在一轮射击中，求甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率；

（2）记一轮射击中，甲、乙命中的环数之和为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列；

（3）进行三轮射击，求甲、乙命中的环数之和不低于52环的概率．

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19. 在如图所示的几何体中， $\text{[math]}$ 均为等边三角形，且平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．

（1）证明： $\text{[math]}$ ．

（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

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20. 在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．

（1）证明：数列 $\text{[math]}$ 是等差数列；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．

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21. 已知点 $\text{[math]}$ 为椭圆C： $\text{[math]}$ 上一点，且直线 $\text{[math]}$ 过椭圆C的一个焦点．

（1）求椭圆C的方程．

（2）不经过点 $\text{[math]}$ 的直线l与椭圆C相交于A，B两点，记直线 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的最大值；

（2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，求a的取值范围．

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湖南省湘潭市2020-2021学年高三上学期理数第一次模拟试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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