湖南省郴州市2020-2021学年高三上学期数学第一次教学质量监测试卷

1. 已知全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ 为虚数单位，复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 在复平面上所对应点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 下列函数中，在 $\text{[math]}$ 上是减函数且是偶函数的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知角 $\text{[math]}$ 的终边经过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”成立的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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6. 《易经》是中国传统文化中的精髓.如图是易经先天八卦图，每一卦由三根线组成（“____”表示一根阳线，“_ _”表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目相同的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知 $\text{[math]}$ 是边长为3的正方形 $\text{[math]}$ 内（包含边界）的一点，则 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A . 6 B . 3 C . 9 D . 8

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8. 若实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 定义：若函数 $\text{[math]}$ 的图象经过变换 $\text{[math]}$ 后所得图象对应的函数的值域与 $\text{[math]}$ 的值域相同，则称变换 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“同值变换”，下面给出四个函数及其对应的变换 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 属于 $\text{[math]}$ 的“同值变换”的是（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ：将函数 $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 轴对称 B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ：将函数 $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 轴对称 C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ：将函数 $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 直线对称 D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ：将函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称

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10. 若将函数 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小周期为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 图象的一条对称轴 D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值为 $\text{[math]}$

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11. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上可导且 $\text{[math]}$ ，其导函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，对于函数 $\text{[math]}$ ，下列结论正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上为增函数 B . $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的极小值点 C . 函数 $\text{[math]}$ 必有2个零点 D . $\text{[math]}$

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13. 已知 $\text{[math]}$ 展开式的二项式系数和为64，则其展开式中含 $\text{[math]}$ 项的系数是.

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14. 设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 交双曲线右支于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为.

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16. 四棱锥 $\text{[math]}$ 各顶点都在球心为 $\text{[math]}$ 的球面上，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则球 $\text{[math]}$ 的体积是；设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 中点，则平面 $\text{[math]}$ 被球 $\text{[math]}$ 所截得的截面面积为.

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17. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为虚数单位，③ $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$

在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，__________.

（1）求 $\text{[math]}$ ；

（2）求 $\text{[math]}$ 的值.
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 已知公差不等于零的等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列.

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

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19. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边长为2的正三角形，底面 $\text{[math]}$ 为菱形，且平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，满足 $\text{[math]}$ .

（1）证明： $\text{[math]}$ ；

（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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20. 某蔬菜种植基地有一批蔬菜需要两天内采摘完毕，天气预报显示这两天每天是否有雨相互独立，无雨的概率都为0.8.现有两种方案可以选择：
方案一：基地人员自己采摘，不额外聘请工人，需要两天完成，两天都无雨收益为2万元，只有一天有雨收益为1万元，两天都有雨收益为0.75万元.

方案二：基地额外聘请工人，只要一天就可以完成采摘.当天无雨收益为2万元，有雨收益为1万元.额外聘请工人的成本为 $\text{[math]}$ 万元.

问：

（1）若不额外聘请工人，写出基地收益 $\text{[math]}$ 的分布列及基地的预期收益；

（2）该基地是否应该外聘工人？请说明理由.

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21. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，且右焦点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为3.

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）过点 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线分别交直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 取得最小值时，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（2）证明∶ $\text{[math]}$ .

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湖南省郴州市2020-2021学年高三上学期数学第一次教学质量监测试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、双空题

五、解答题

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