海南、山东等新高考地区2021届高三上学期数学期中备考试卷（A卷)

1. 若复数 $\text{[math]}$ 为纯虚数，则实数 $\text{[math]}$ 的值为（）．

A . -1 B . 1 C . -2 D . 2

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2. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的可能取值组成的集合为（）

A . $\text{[math]}$ B . {1} C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 为了评估某家快递公司的服务质量，某评估小组进行了客户满意度调查，从该公司参与调查的客户中随机抽取500名客户的评分，评分均在区间 $\text{[math]}$ 上，分组为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其频率分布直方图如图所示.规定评分在60分以下表示对该公司的服务质量不满意，则这500名客户中对该公司的服务质量不满意的客户的人数为（）

A . 15 B . 16 C . 17 D . 18

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4. 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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6. 已知在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上与坐标原点 $\text{[math]}$ 不重合的一点，以 $\text{[math]}$ 为直径的圆交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则该双曲线的离心率是（）

A . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ 或2 D . $\text{[math]}$

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8. 若函数 $\text{[math]}$ 恰有两个不同的零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知 $\text{[math]}$ 的展开式中各项系数之和为 $\text{[math]}$ ，第二项的二项式系数为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 展开式中存在常数项 D . 展开式中含 $\text{[math]}$ 项的系数为54

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象的一条对称轴为直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的导函数，函数 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 图象的一条对称轴 B . $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 图象的一个对称中心 D . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$

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11. 如图，直接三棱柱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的两个动点，则（）

A . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 一定是异面直线 B . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则四棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球表面积为 $\text{[math]}$

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12. 若存在两个不相等的实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均在函数 $\text{[math]}$ 的定义域内，且满足 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ，下列函数具有性质 $\text{[math]}$ 的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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13. 《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称勾股定理为商高定理.我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数.现从6、7、8、9、10这5个正整数中随机抽取3个数，则恰好构成勾股数的概率为.

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14. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，且离心率 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是椭圆上位于第二象限内的一点，若 $\text{[math]}$ 是腰长为4的等腰三角形，则 $\text{[math]}$ 的面积为.

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15. 已知正实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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16. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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17. 在① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的周长为8，③ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的外接圆半径为2，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答.
在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，______？求 $\text{[math]}$ .

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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和.

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19. 在一场青年歌手比赛中，由20名观众代表平均分成 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两个评分小组，给参赛选手评分，下面是两个评分小组对同一名选手的评分情况：

$\text{[math]}$ 组	8.3	9.3	9.6	9.4	8.5	9.6	8.8	8.4	9.4	9.7
$\text{[math]}$ 组	8.6	9.1	9.2	8.8	9.2	9.1	9.2	9.3	8.8	8.7

（1）分别计算这两个小组评分的平均数和方差，并根据结果判断哪个小组评分较集中；

（2）在评分较集中的小组中，去掉一个最高分和一个最低分，从剩余的评分中任取2名观众的评分，记 $\text{[math]}$ 为这2个人评分之差的绝对值，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.

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20. 如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边长为4的等边三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

（2）线段 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得二面角 $\text{[math]}$ 为直二面角？若存在，试指出点 $\text{[math]}$ 的位置；若不存在，请说明理由．

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21. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 和椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的离心率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是椭圆 $\text{[math]}$ 的右、下顶点，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）与椭圆 $\text{[math]}$ 相切的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ 在定义域内是单调函数，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，求证：对任意 $\text{[math]}$ ，恒有 $\text{[math]}$ 成立.

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海南、山东等新高考地区2021届高三上学期数学期中备考试卷（A卷)

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、双空题

五、解答题

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