北京市一七一中学2019-2020学年高二上学期数学期中考试试卷

1. 设直线 $\text{[math]}$ 的方向向量 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的方向向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数m的值为（）

A . 1 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 3

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2. 椭圆 $\text{[math]}$ 的短轴长为（）

A . 2 B . 6 C . 4 D . 12

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3. 设抛物线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 到直线的距离是，则点 $\text{[math]}$ 到该抛物线焦点的距离是（）

A . 12 B . 8 C . 6 D . 4

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4. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，在左支上过 $\text{[math]}$ 的弦 $\text{[math]}$ 的长为5，若 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的周长是（）

A . 16 B . 18 C . 21 D . 26

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5. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线方程为 $\text{[math]}$ ，且与椭圆 $\text{[math]}$ 有公共焦点.则C的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 椭圆 $\text{[math]}$ 上的点到直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的距离的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 上有一点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆的左、右焦点，若 $\text{[math]}$ 为直角三角形，则这样的点 $\text{[math]}$ 有（）

A . 3个 B . 4个 C . 6个 D . 8个

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8. 如图，已知线段 $\text{[math]}$ 上有一动点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 异于 $\text{[math]}$ ），线段 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是大于 $\text{[math]}$ 且不等于 $\text{[math]}$ 的常数），则点 $\text{[math]}$ 的运动轨迹为（）

A . 圆的一部分 B . 椭圆的一部分 C . 双曲线的一部分 D . 抛物线的一部分

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9. 直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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10. 已知双曲线过点 $\text{[math]}$ ，且渐近线方程为 $\text{[math]}$ ，则该双曲线的标准方程为.

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11. 已知 $\text{[math]}$ 的顶点B、C在椭圆 $\text{[math]}$ 上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 $\text{[math]}$ 边上，则 $\text{[math]}$ 的周长是

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12. 如图所示，在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是底面 $\text{[math]}$ 的中心， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，那么异面直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值等于.

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13. 已知 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的焦点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 的延长线交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 已知点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，那么点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离与点 $\text{[math]}$ 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 $\text{[math]}$ 的坐标为

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15. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的两个焦点分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，短轴的两个端点分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上，且满足 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 变化时，给出下列三个命题：
①点 $\text{[math]}$ 的轨迹关于 $\text{[math]}$ 轴对称；② $\text{[math]}$ 的最小值为2；

③存在 $\text{[math]}$ 使得椭圆 $\text{[math]}$ 上满足条件的点 $\text{[math]}$ 仅有两个，

其中，所有正确命题的序号是．

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16. 双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为，渐近线方程为.

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17. 已知椭圆的两焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，离心率 $\text{[math]}$ .

（1）求此椭圆的方程；

（2）设直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与此椭圆相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 的长.

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18. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，其焦点为 $\text{[math]}$ .直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

（1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程以及焦点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（2）求证： $\text{[math]}$ .

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19. 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=2 $\text{[math]}$ ，BC=4．将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使得平面A₁DE $\text{[math]}$ 平面BCED，如下图．

（Ⅰ）求证：A₁O $\text{[math]}$ BD；

（Ⅱ）求直线A₁C和平面A₁BD所成角的正弦值；

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20. 如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中，梯形 $\text{[math]}$ 与平行四边形 $\text{[math]}$ 所在平面互相垂直， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；

（Ⅲ）判断线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值，若不存在，说明理由．

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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的离心率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为1.

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）设 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上一点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值.

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北京市一七一中学2019-2020学年高二上学期数学期中考试试卷

一、单选题

二、填空题

三、双空题

四、解答题

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