湖南省郴州市2019-2020学年高三上学期理数第一次教学质量监测（12月)试卷

修改时间：2024-07-13 浏览次数：102 类型：月考试卷编辑

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一、单选题

1. 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若复数 $\text{[math]}$ 为纯虚数，则实数 $\text{[math]}$ （）．

A . -2 B . -1 C . 1 D . 2

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3. 下列结论中正确的个数是（）．
①在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是等腰三角形；②在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ③两个向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共线的充要条件是存在实数 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ④等差数列的前 $\text{[math]}$ 项和公式是常数项为0的二次函数．

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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4. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 郴州市某校高一（10）班到井冈山研学旅行，决定对甲、乙、丙、丁这四个景馆进行研学体验，但由于是高峰期，景馆为高一（10）班调整了路线，规定不能最先去甲景馆研学，不能最后去乙景馆和丁景馆研学，如果你是该班同学，你能为这次愉快的研学旅行设计多少条路线（）

A . 24 B . 18 C . 16 D . 10

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6. 函数y=x+cosx的大致图象是（）

A . B . C . D .

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7. 我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长）．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈四尺五寸，夏至晷长二尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是（）

A . 五寸 B . 二尺五寸 C . 五尺五寸 D . 四尺五寸

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8. 已知x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的最大值是16，则a的值为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 4 D . $\text{[math]}$

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9. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ 上的点到直线 $\text{[math]}$ 的距离最小值为m，若双曲线上一点P，使 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 3 B . 2 C . -3 D . -2

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10. 丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的导函数为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的导函数为 $\text{[math]}$ ，若在 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ 恒成立，则称函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上为“凸函数”．已知 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上为“凸函数”，则实数m的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若正实数a，b满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 7 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 在边长为 $\text{[math]}$ 的菱形ABCD中， $\text{[math]}$ ，沿对角边 $\text{[math]}$ 折成二面角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的四面体 $\text{[math]}$ ，则四面体 $\text{[math]}$ 外接球表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. $\text{[math]}$ 展开式中的常数项为．

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14. 设等差数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为．

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15. 如图，B是AC上一点，以AB，BC，AC为直径作半圆．过B作 $\text{[math]}$ ，与半圆相交于D， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是．

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16. 已知直线l： $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）交于A、B两点，与圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 交于C、D两点．若存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率的取值范围是．

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三、解答题

17. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 共线．

（1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；

（2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求三角形 $\text{[math]}$ 的面积．

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18. 如图，在五棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面ABCDE， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等腰三角形．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面PAC；

（2）求由平面PAC与平面PED构成的锐二面角的余弦值．

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19. 郴州某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶6元，售价每瓶8元，未售出的饮料降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间 $\text{[math]}$ ，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温	$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$	[15,20)	$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$	[25,20)	$\text{[math]}$ ，35)	[35， $\text{[math]}$
天数	2	16	36	25	7	4

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．

（1）求六月份这种饮料一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种饮料的利润为Y（单位：元），当六月份这种饮料一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

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20. 已知点 $\text{[math]}$ 在椭圆上E： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），点 $\text{[math]}$ 为平面上一点，O为坐标原点．

（1）当 $\text{[math]}$ 取最小值时，求椭圆E的方程；

（2）对（1）中的椭圆E，P为其上一点，若过点 $\text{[math]}$ 的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T，且满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），求实数t的取值范围．

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21. 设函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，e是自然对数的底数．

（1）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上存在两个极值点，求a的取值范围；

（2）当 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上存在两个极值点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数，且 $\text{[math]}$ ），以原点 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．

（1）求曲线 $\text{[math]}$ 的普通方程与直线的直角坐标方程；

（2）设点 $\text{[math]}$ 在曲线 $\text{[math]}$ 上，求点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 距离的最小值与最大值．

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23. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；

（2）若对任意的 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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湖南省郴州市2019-2020学年高三上学期理数第一次教学质量监测（12月)试卷

一、单选题

二、填空题

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