湖南省长沙市开福区第一中学2019-2020学年高二上学期数学第二次阶段性考试试卷

修改时间：2024-07-31 浏览次数：161 类型：月考试卷编辑

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一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 命题“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”的否定为（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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3. 某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取 $\text{[math]}$ 个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），已知成绩在 $\text{[math]}$ 的学生人数为8，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 40 B . 50 C . 60 D . 70

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4. 已知a=log₂0.2，b= $\text{[math]}$ ，c= $\text{[math]}$ ，则（）

A . a<b<c B . a<c<b C . c<a<b D . b<c<a

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5. 设函数 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . -3 C . 2 D . -2

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6. 在明朝程大位的《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首歌谣描述的这个宝塔一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，则塔顶（）有盏灯．

A . 2 B . 3 C . 4 D . 705

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7. 设单位向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知变量 $\text{[math]}$ 满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图在一个60º的二面角的棱上有两个点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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10. 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 在第一象限上的两个动点，且满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 11 B . 12 C . 13 D . 14

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11. 在如图所示的空间几何体中，下面的长方体 $\text{[math]}$ 的三条棱长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，上面的四棱锥 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则过五点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，对任意 $\text{[math]}$ 恒有 $\text{[math]}$ ，在区间 $\text{[math]}$ 上有且只有一个 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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14. 若 $\text{[math]}$ 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数， $\text{[math]}$ 是从1，2两个数中任取的一个数，则关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有实根的概率是．

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15. 如图， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与双曲线的左右两支分别交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为．

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16. 已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 内一点，且满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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三、解答题

17. 在 $\text{[math]}$ 中，内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c.已知 $\text{[math]}$ .

（1）求角B的大小；

（2）设a=2，c=3，求b和 $\text{[math]}$ 的值.

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18. 已知{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃a₅=45，a₂+a₆=14．
（I）求{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b_n}满足： $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$ ，求{b_n}的前n项和．

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19. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ .

（1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，且二面角 $\text{[math]}$ 等于 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

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20. 已知动圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相切，且与圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 外切；

（1）求动圆圆心 $\text{[math]}$ 的轨迹 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）若直线 $\text{[math]}$ 过定点 $\text{[math]}$ ，且与轨迹 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，与圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，若点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，过左焦点的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（异于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点），当直线 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 轴时，四边形 $\text{[math]}$ 的面积为6．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ；试问 $\text{[math]}$ 的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

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22. 2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举行，吸引过来58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，成为共建“一带一路”的又一个重要支撑。某企业为了参加这次盛会，提升行业竞争力，加大了科技投入；该企业连续6年来得科技投入 $\text{[math]}$ （百万元）与收益 $\text{[math]}$ （百万元）的数据统计如下：

根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线 $\text{[math]}$ 的周围，据此他对数据进行了一些初步处理，如下表：

其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

附：对于一组数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…… $\text{[math]}$ ，其回归直线方程 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，相关指数： $\text{[math]}$

（1）（ $\text{[math]}$ ）请根据表中数据，建立 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归方程（保留一位小数）；
（ $\text{[math]}$ ）根据所建立回归方程，若该企业想在下一年的收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少（其中 $\text{[math]}$ ）？

（2）乙认为样本点分布在二次曲线 $\text{[math]}$ 的周围，并计算得回归方程为 $\text{[math]}$ ，以及该回归模型的相关指数 $\text{[math]}$ ，试比较甲乙两位员工所建立的模型，谁的拟合效果更好．

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湖南省长沙市开福区第一中学2019-2020学年高二上学期数学第二次阶段性考试试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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