湖南省湖湘教育三新探索协作体2019-2020学年高二上学期数学12月联考试卷

修改时间：2021-05-20 浏览次数：165 类型：月考试卷编辑

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一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -2 B . -7 C . 1 D . 5

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3. 已知曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线的倾斜角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 3

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4. 一只小虫在边长为 $\text{[math]}$ 的正方形内部爬行，到各顶点的距离不小于 $\text{[math]}$ 时为安全区域，则小虫在安全区域内爬行的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 在等差数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为前 $\text{[math]}$ 项和，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 9 B . 36 C . 45 D . 54

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6. 已知曲线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若想要由 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . 把曲线 $\text{[math]}$ 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移 $\text{[math]}$ 个单位 B . 把曲线 $\text{[math]}$ 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移 $\text{[math]}$ 个单位 C . 把曲线 $\text{[math]}$ 上各点的横坐标缩短为原来的 $\text{[math]}$ （纵坐标不变），再向左平移 $\text{[math]}$ 个单位 D . 把曲线 $\text{[math]}$ 上各点的横坐标缩短为原来的 $\text{[math]}$ （纵坐标不变），再向右平移 $\text{[math]}$ 个单位

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7. 如图是抛物线拱形桥，当水面在 $\text{[math]}$ 时，拱顶高于水面 $\text{[math]}$ ，水面宽为 $\text{[math]}$ ，当水面宽为 $\text{[math]}$ 时，水位下降了（） $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . 1 D . $\text{[math]}$

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8. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右顶点为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作圆 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知圆 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上运动，过点 $\text{[math]}$ 向圆 $\text{[math]}$ 作切线，切点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 面积的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4

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10. 若两个正实数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，对这样的 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，准线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ 交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 是偶函数，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 恰好有 $\text{[math]}$ 个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 一个几何体的三视图如图，网格中每个正方形的边长为 $\text{[math]}$ ，若这个几何体的顶点都在球 $\text{[math]}$ 的表面上，则球 $\text{[math]}$ 的表面积为．

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16. 光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过 $\text{[math]}$ 次反射后，首次回到左焦点所经过的路径长为．

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三、解答题

17. 已知命题 $\text{[math]}$ 方程 $\text{[math]}$ 表示双曲线，命题 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）写出命题 $\text{[math]}$ 的否定“ $\text{[math]}$ ”；

（2）若命题“ $\text{[math]}$ ”为假命题，“ $\text{[math]}$ ”为假命题，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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18. $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ ；

（2）若等差数列 $\text{[math]}$ 的公差不为0，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 成等比数列，求数列 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．

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19. 双十一购物狂欢节，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，目前已成为中国电子商务行业的年度盛事，某商家为了解“双十一”这一天网购者在其网店一次性购物情况，从这一天交易成功的所有订单里随机抽取了100份，按购物金额（单位：元）进行统计，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表计算）．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）试估计购物金额的平均数；

（3）若该商家制订了两种不同的促销方案：

方案一：全场商品打八折；

方案二：全场商品优惠如下表：

购物金额范围	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
商家优惠（元）	30	50	140	160	280	320

如果你是购物者，你认为哪种方案优惠力度更大？

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20. 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是正三角形，面 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）证明： $\text{[math]}$ ；

（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

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21. 如图，要在河岸 $\text{[math]}$ 的一侧修建一条休闲式人行道，进行图纸设计时，建立了图中所示坐标系，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，且 $\text{[math]}$ ，道路的前一部分为曲线段 $\text{[math]}$ ，该曲线段为二次函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 时的图像，最高点为 $\text{[math]}$ ，道路中间部分为直线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，道路的后一段是以 $\text{[math]}$ 为圆心的一段圆弧 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）求 $\text{[math]}$ 的大小；

（3）若要在扇形区域 $\text{[math]}$ 内建一个“矩形草坪” $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在圆弧 $\text{[math]}$ 上运动， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，记 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 为何值时，“矩形草坪”面积最大．

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22. 如图，椭圆 $\text{[math]}$ 的左右焦点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 恰好是等轴双曲线 $\text{[math]}$ 的左右顶点，且椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 上异于顶点的任意一点，直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 与椭圆的交点分别记为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）设直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值；

（3）若存在点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的大小．

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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