安徽省合肥市2020届高三下学期理数4月第二次教学质量检测试卷

修改时间：2024-07-13 浏览次数：197 类型：高考模拟编辑

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一、单选题

1. 若集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 欧拉公式 $\text{[math]}$ 把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 若实数x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . -5 B . -4 C . 7 D . 16

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4. 已知 $\text{[math]}$ 为奇函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是自然对数的底数），则曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 4 B . 2 C . -2 D . -4

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6. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 成中心对称，且与直线 $\text{[math]}$ 的两个相邻交点间的距离为 $\text{[math]}$ ，则下列叙述正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ B . 函数 $\text{[math]}$ 图象的对称中心为 $\text{[math]}$ C . 函数 $\text{[math]}$ 的图象可由 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 得到 D . 函数 $\text{[math]}$ 的递增区间为 $\text{[math]}$

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7. 《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形．该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长 $\text{[math]}$ ．由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图3．设D为斜边 $\text{[math]}$ 的中点，作直角三角形 $\text{[math]}$ 的内接正方形对角线 $\text{[math]}$ ，过点A作 $\text{[math]}$ 于点F，则下列推理正确的是（）

①由图1和图2面积相等得 $\text{[math]}$ ；

②由 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ；

③由 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ；

④由 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ．

A . ①②③④ B . ①②④ C . ②③④ D . ①③

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8. 为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A，B，C三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶．经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择A，B，C三个扶贫项目的意向如下表：

扶贫项目

A

B

C

贫困户

甲、乙、丙、丁

甲、乙、丙

丙、丁

若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则不同的选法种数有（）

A . 24种 B . 16种 C . 10种 D . 8种

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9. 某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示．已知半球的半径为 $\text{[math]}$ ，则当此几何体体积最小时，则当此几何体体积最小时，它的表面积等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点为F，过点 $\text{[math]}$ 的直线l交抛物线C于点A，B，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -9 B . -11 C . -12 D . $\text{[math]}$

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11. 若关于x的不等式 $\text{[math]}$ 有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，二面角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小均等于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的球心为O，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 交于点Q．则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . 3 D . 4

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二、填空题

13. 已知向量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 三人制足球（也称为笼式足球）以其独特的魅力，吸引着中国众多的业余足球爱好者．在某次三人制足球传球训练中， $\text{[math]}$ 队有甲、乙、丙三名队员参加．甲、乙、丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人．若由甲开始发球（记为第一次传球），则第4次传球后，球仍回到甲的概率等于．

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15. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的右焦点为点F，点B是虚轴的一个端点，点P为双曲线 $\text{[math]}$ 左支上一个动点，若 $\text{[math]}$ 周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为．

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16. 已知 $\text{[math]}$ 三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列，则：（1） $\text{[math]}$ ；（2） $\text{[math]}$ ．

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三、解答题

17. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．

（1）求数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．

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18. 如图（1），在矩形 $\text{[math]}$ 中，E，F在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ．沿 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 折起，使平面 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 都与平面 $\text{[math]}$ 垂直，如图（2）．

（1）试判断图（2）中直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系，并说明理由；

（2）求平面 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 所成锐角二面角的余弦值．

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19. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于A，B两点，点 $\text{[math]}$ 在直线l的左上方．

（1）若以 $\text{[math]}$ 为直径的圆恰好经过椭圆右焦点 $\text{[math]}$ ，求此时直线l的方程；

（2）求证： $\text{[math]}$ 的内切圆的圆心在定直线 $\text{[math]}$ 上．

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20. 某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案 $\text{[math]}$ 是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案 $\text{[math]}$ 是对原有生产线进行技术改造．由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化．该企业管理者对历年产品销售市场行情及回报率进行了调研，编制出下表：

市场销售状态		畅销	平销	滞销
市场销售状态概率 $\text{[math]}$		$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
预期平均年利润（单位：万元）	方案 $\text{[math]}$	700	400	$\text{[math]}$
预期平均年利润（单位：万元）	方案 $\text{[math]}$	600	300	$\text{[math]}$

（1）以预期平均年利润的期望值为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？

（2）记该生产线升级后的产品（以下简称“新产品”）的年产量为 $\text{[math]}$ （万件），通过核算，实行方案 $\text{[math]}$ 时新产品的年度总成本 $\text{[math]}$ （万元）为 $\text{[math]}$ ，实行方案 $\text{[math]}$ 时新产品的年度总成本 $\text{[math]}$ （万元）为 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若按（1）的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的单价 $\text{[math]}$ （元）分别为60， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且生产的新产品当年都能卖出去．试问：当 $\text{[math]}$ 取何值时，新产品年利润 $\text{[math]}$ 的期望取得最大值？并判断这一年利润能否达到预期目标．

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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ．（e是自然对数的底数）

（1）求 $\text{[math]}$ 的单调递减区间；

（2）记 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，试讨论 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的零点个数．（参考数据： $\text{[math]}$ ）

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22. 在直角坐标系 $\text{[math]}$ ，曲线C的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．

（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）若直线 $\text{[math]}$ 与曲线C交于P，Q两点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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23. 已知不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ ．

（1）求n的值；

（2）若三个正实数a，b，c满足 $\text{[math]}$ ．证明： $\text{[math]}$ ．

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扶贫项目	A	B	C
贫困户	甲、乙、丙、丁	甲、乙、丙	丙、丁

安徽省合肥市2020届高三下学期理数4月第二次教学质量检测试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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