北京市通州区2019届高三理数4月第一次模拟考试试卷

1. 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ ，则下列不等式中成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 在极坐标系中，圆 $\text{[math]}$ 的圆心的极坐标是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中 $\text{[math]}$ 表示正整数 $\text{[math]}$ 除以正整数 $\text{[math]}$ 后的余数为 $\text{[math]}$ ，例如 $\text{[math]}$ 表示11除以3后的余数是2．执行该程序框图，则输出的 $\text{[math]}$ 等于（）

A . 7 B . 8 C . 9 D . 10

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5. 设抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都在抛物线上，则 $\text{[math]}$ 四点中与焦点 $\text{[math]}$ 距离最小的点是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. “ $\text{[math]}$ ”是“方程 $\text{[math]}$ 表示双曲线”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 由正整数组成的数对按规律排列如下： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…．若数对 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则数对 $\text{[math]}$ 排在（）

A . 第351位 B . 第353位 C . 第378位 D . 第380位

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9. 复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第象限．

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10. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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11. 若实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是．

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12. 能说明“若函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内不存在零点”为假命题的一个函数是．

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13. 用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，其中百位上的数字是5的四位数共有个（用数字作答）．

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14. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于点 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，就称这个函数是点 $\text{[math]}$ 的“限定函数”．以下函数：① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ ，④ $\text{[math]}$ ，其中是原点 $\text{[math]}$ 的“限定函数”的序号是．已知点 $\text{[math]}$ 在函数 $\text{[math]}$ 的图象上，若函数 $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 的“限定函数”，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ 的最小正周期；

（Ⅱ）当 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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16. 某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：

（Ⅰ）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；

（Ⅱ）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望；

（Ⅲ）如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．

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17. 如图1，菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，如图2．

（Ⅰ）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求直线A′E与平面A′BC所成角的正弦值；

（Ⅲ）设 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点，若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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18. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的两个焦点分别为 $\text{[math]}$ ，长轴长为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程及离心率；

（Ⅱ）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，若点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求证：由点 $\text{[math]}$ 构成的曲线 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称．

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19. 已知函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

（Ⅱ）当 $\text{[math]}$ 时，

（ⅰ）求 $\text{[math]}$ 的单调区间；

（ⅱ）若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内单调递减，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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20. 定义集合 $\text{[math]}$ 与集合 $\text{[math]}$ 之差是由所有属于 $\text{[math]}$ 且不属于 $\text{[math]}$ 的元素组成的集合，记作 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ．已知集合 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）若集合 $\text{[math]}$ ，写出集合 $\text{[math]}$ 的所有元素；

（Ⅱ）从集合 $\text{[math]}$ 选出10个元素由小到大构成等差数列，其中公差的最大值 $\text{[math]}$ 和最小值 $\text{[math]}$ 分别是多少？公差为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的等差数列各有多少个？

（Ⅲ）设集合 $\text{[math]}$ ，且集合 $\text{[math]}$ 中含有10个元素，证明：集合 $\text{[math]}$ 中必有10个元素组成等差数列．

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北京市通州区2019届高三理数4月第一次模拟考试试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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