北京市东城区2019届高三下学期理数综合练习（一)

1. 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 对应的点位于第二象限，则复数 $\text{[math]}$ 可取（）

A . 2 B . -1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为（）

A . 等腰三角形 B . 直角三角形 C . 平行四边形 D . 梯形

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3. 若 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知直线 $\text{[math]}$ 过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ ，与抛物线交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与其准线交于点 $\text{[math]}$ .若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，则线段 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”. 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为 $\text{[math]}$ ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ 相等”是“ $\text{[math]}$ 总相等”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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6. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列关于 $\text{[math]}$ 的判断正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 总有 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 总有 $\text{[math]}$

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7. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数是.（用数字作答）

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8. 在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =.

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9. 若曲线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）关于直线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为参数)对称，则 $\text{[math]}$ ；此时原点 $\text{[math]}$ 到曲线 $\text{[math]}$ 上点的距离的最大值为.

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10. 已知向量 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ 为单位向量，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角为.

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ 成立，则满足条件的一个区间是.

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12. 设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的两个子集，对任意 $\text{[math]}$ ，定义： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
①若 $\text{[math]}$ ，则对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

②若对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的关系为.

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13. 已知函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
(Ⅰ) 求 $\text{[math]}$ 的值及 $\text{[math]}$ 的最小正周期；

(Ⅱ) 若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增，求 $\text{[math]}$ 的最大值.

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14. 改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．

（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多 $\text{[math]}$ 亿元以上的概率；

（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设 $\text{[math]}$ 是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求 $\text{[math]}$ 的分布列与数学期望；

（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）

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15. 如图，在棱长均为 $\text{[math]}$ 的三棱柱 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 内的射影 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点．

（Ⅰ）求证：四边形 $\text{[math]}$ 为正方形；

（Ⅱ）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；

（Ⅲ）在线段 $\text{[math]}$ 上存在一点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 没有公共点，求 $\text{[math]}$ 的值.

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16. 设函数 $\text{[math]}$ 的极小值点为 $\text{[math]}$ .
（I）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值 $\text{[math]}$ 的单调区间；

（II）若 $\text{[math]}$ ，在曲线 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得点 $\text{[math]}$ 位于 $\text{[math]}$ 轴的下方？若存在，求出一个 $\text{[math]}$ 点坐标，若不存在，说明理由.

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17. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于两点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的一个交点为 $\text{[math]}$ ，△ $\text{[math]}$ 的面积为2.
（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程及离心率；

（Ⅱ）在 $\text{[math]}$ 轴右侧且平行于 $\text{[math]}$ 轴的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .以原点 $\text{[math]}$ 为圆心，以 $\text{[math]}$ 为半径的圆与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），求 $\text{[math]}$ 的值.

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18. 已知 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 中的项均为不大于 $\text{[math]}$ 的正整数. $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 的个数 $\text{[math]}$ .定义变换 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 将数列 $\text{[math]}$ 变成数列 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 其中 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）若 $\text{[math]}$ ，对数列 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的值；

（Ⅱ）已知对任意的 $\text{[math]}$ ，存在 $\text{[math]}$ 中的项 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的充分必要条件为 $\text{[math]}$

（Ⅲ）若 $\text{[math]}$ ，对于数列 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

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北京市东城区2019届高三下学期理数综合练习（一)

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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