北京市朝阳区2019届高三理数5月二模试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$

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2. 复数i（1+i）的虚部为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . 0 D . $\text{[math]}$

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3. 在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算．根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制的程序框图如图所示．执行该程序框图，输出s的值为（）

A . 4 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 在△ABC中， $\text{[math]}$ ，c=4， $\text{[math]}$ ，则b=（）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的首项为 $\text{[math]}$ ，公差 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ 成等比数列” 是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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6. 已知函数 $\text{[math]}$ 若函数 $\text{[math]}$ 存在零点，则实数a的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . （-∞，1） D . $\text{[math]}$

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7. 在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中，E，F分别为线段CD和 $\text{[math]}$ 上的动点，且满足 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）

A . 有最小值 $\text{[math]}$ B . 有最大值 $\text{[math]}$ C . 为定值3 D . 为定值2

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8. 在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且∠BAC= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，BC=1，P为BC中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上投影的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知 $\text{[math]}$ ，则a，b，c中最小的是．

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10. 已知点M（1，2）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，则点M到抛物线C焦点的距离是．

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11. 圆 $\text{[math]}$ 为参数）上的点P到直线 $\text{[math]}$ 为参数）的距离最小值是．

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12. 实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 能说明“若 $\text{[math]}$ 的最大值是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ”为假命题的一组 $\text{[math]}$ 值是.

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13. 由数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位数，偶数共有个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有个．

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14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），M（-4，0），N（4，0），P（0，-2），Q（0，2），H（4，2）．线段OM上的动点A满足 $\text{[math]}$ ；线段HN上的动点B满足 $\text{[math]}$ ．直线PA与直线QB交于点L，设直线PA的斜率记为k，直线QB的斜率记为k'，则k•k'的值为；当λ变化时，动点L一定在（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上．

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ．

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16. 某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7，8），[8，9），[9，10]分组，绘成频率分布直方图如图：

专家	A	B	C	D	E
评分	9.6	9.5	9.6	8.9	9.7

（1）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；

（2）从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；试求E（X）与E（Y）的值；

（3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数 $\text{[math]}$ 作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数 $\text{[math]}$ 和观众评分的平均数 $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ 作为该选手最终得分．请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系．

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17. 在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是正三角形，侧棱 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ．D，E分别是边BC，AC的中点，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点G，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ ；

（2）求证： $\text{[math]}$ ⊥平面 $\text{[math]}$ ；

（3）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

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18. 已知函数 $\text{[math]}$ 且a≠0）．

（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）若函数f（x）的极小值为 $\text{[math]}$ ，试求a的值．

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19. 已知椭圆 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（Ⅱ）设直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 且与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点.过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ .证明直线 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ 轴上的定点.

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20. 对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S（A）={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S（A）的元素个数为d（S（A））．定义变换T，变换T将集合A变换为集合T（A）=A∪S（A）．

（1）若A={0，1，2}，求S（A），T（A）；

（2）若集合A有n个元素，证明：“d（S（A））=2n-1”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；

（3）若A⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A）），求元素个数最少的集合A．

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北京市朝阳区2019届高三理数5月二模试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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