北京市昌平区2019届高三理数5月二模试卷

1. 已知全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ （i为虚数单位，a为实数）在复平面内对应的点位于第二象限，则复数z的虚部可以是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的a的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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4. 若直线 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 则实数 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 设 $\text{[math]}$ 是非零向量，则“存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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6. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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7. 嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为 $\text{[math]}$ 公里，远月点与月球表面距离为 $\text{[math]}$ 公里.已知月球的直径为 $\text{[math]}$ 公里，则该椭圆形轨道的离心率约为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的偶函数，且满足 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 有6个零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知幂函数 $\text{[math]}$ 的图像过点 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ ．

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10. 在极坐标系中，极点到直线 $\text{[math]}$ 的距离为.

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11. 在 $\text{[math]}$ 中，三边长分别为 $\text{[math]}$ ,其最大角的余弦值为, $\text{[math]}$ 的面积为.

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12. 2019年3月2日，昌平 “回天”地区开展了 $\text{[math]}$ 种不同类型的 “三月雷锋月,回天有我”社会服务活动. 其中有 $\text{[math]}$ 种活动既在上午开展、又在下午开展， $\text{[math]}$ 种活动只在上午开展， $\text{[math]}$ 种活动只在下午开展 . 小王参加了两种不同的活动，且分别安排在上、下午，那么不同安排方案的种数是.

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13. 设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ . 请写出一个满足条件的数列 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ ．

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14. 已知平面内两个定点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是动点，且直线 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ 的斜率乘积为常数 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的轨迹为 $\text{[math]}$ .
① 存在常数 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 上所有点到两点 $\text{[math]}$ 距离之和为定值；

② 存在常数 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 上所有点到两点 $\text{[math]}$ 距离之和为定值；

③ 不存在常数 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 上所有点到两点 $\text{[math]}$ 距离差的绝对值为定值；

④ 不存在常数 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 上所有点到两点 $\text{[math]}$ 距离差的绝对值为定值.

其中正确的命题是.（填出所有正确命题的序号）

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ .
（I）求 $\text{[math]}$ 的值；

（II）当 $\text{[math]}$ 时，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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16. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为矩形，平面 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点．

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；

（Ⅲ）在棱 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ？若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由．

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17. 某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试. 现从男、女生中各随机抽取 $\text{[math]}$ 人，把他们的测试数据，按照《国家学生体质健康标准》整理如下表. 规定：数据≥ $\text{[math]}$ ，体质健康为合格.

等级	数据范围	男生人数	男生平均分	女生人数	女生平均分
优秀	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
良好	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
及格	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
不及格	$\text{[math]}$ 以下	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
总计	--	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

(I)从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康合格的概率；

(II)从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康等级是优秀的概率；

（III）表中优秀、良好、及格、不及格四个等级的男生、女生平均分都接近（二者之差的绝对值不大于 $\text{[math]}$ ），但男生的总平均分却明显高于女生的总平均分．研究发现，若去掉四个等级中一个等级的数据，则男生、女生的总平均分也接近，请写出去掉的这个等级．（只需写出结论）

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18. 已知 $\text{[math]}$ ．
(I)若曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与 $\text{[math]}$ 轴平行，求 $\text{[math]}$ 的值；

(II)若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得极大值，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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19. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上异于点 $\text{[math]}$ 的不同两点，且以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆恒过点 $\text{[math]}$ .
（I）当点 $\text{[math]}$ 与坐标原点 $\text{[math]}$ 重合时，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；

（II）求证：直线 $\text{[math]}$ 恒过定点，并求出这个定点的坐标.

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20. 对于集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .集合 $\text{[math]}$ 中的元素个数记为 $\text{[math]}$ .规定：若集合 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则称集合 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ．
（I）已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；

（II）已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为等比数列， $\text{[math]}$ ，且公比为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ；

（III）已知 $\text{[math]}$ 均有性质 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

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北京市昌平区2019届高三理数5月二模试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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