北京市海淀区2019-2020学年高三上学期数学期末试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ 是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 下列直线与圆 $\text{[math]}$ 相切的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知平面向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是三个不同的平面，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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8. 已知等边 $\text{[math]}$ 边长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .下列结论中错误的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 声音的等级 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）与声音强度 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）满足 $\text{[math]}$ . 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为 $\text{[math]}$ ；一般说话时，声音的等级约为 $\text{[math]}$ ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）

A . $\text{[math]}$ 倍 B . $\text{[math]}$ 倍 C . $\text{[math]}$ 倍 D . $\text{[math]}$ 倍

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10. 若点 $\text{[math]}$ 为点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 上的正投影，则记 $\text{[math]}$ .如图，在棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体 $\text{[math]}$ 中，记平面 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上一动点（与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 不重合） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .给出下列三个结论：

①线段 $\text{[math]}$ 长度的取值范围是 $\text{[math]}$ ；②存在点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；③存在点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ .其中，所有正确结论的序号是（）

A . ①②③ B . ②③ C . ①③ D . ①②

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11. 在等差数列 $\text{[math]}$ 中,若 $\text{[math]}$ ,则 $\text{[math]}$ .

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12. 若复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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13. 已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右顶点.若 $\text{[math]}$ 为正三角形，则该双曲线的离心率为.

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14. 已知函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上存在最小值，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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15. 用“五点法”作函数 $\text{[math]}$ 的图象时，列表如下：

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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16. 已知曲线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数）.
（i）给出下列结论：

①曲线 $\text{[math]}$ 为中心对称图形；

②曲线 $\text{[math]}$ 为轴对称图形；

③当 $\text{[math]}$ 时，若点 $\text{[math]}$ 在曲线 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ .

其中，所有正确结论的序号是.

（ii）当 $\text{[math]}$ 时，若曲线 $\text{[math]}$ 所围成的区域的面积小于 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值可以是.（写出一个即可）

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17. 已知函数 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）求函数 $\text{[math]}$ 的单调递增区间；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

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18. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求证： $\text{[math]}$ ；

（Ⅲ）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

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19. 某市《城市总体规划（ $\text{[math]}$ 年）》提出到 $\text{[math]}$ 年实现“ $\text{[math]}$ 分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身 $\text{[math]}$ 个方面构建“ $\text{[math]}$ 分钟社区生活圈”指标体系，并依据“ $\text{[math]}$ 分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区（指数为 $\text{[math]}$ ）、良好小区（指数为 $\text{[math]}$ ）、中等小区（指数为 $\text{[math]}$ ）以及待改进小区（指数为 $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ 个等级.下面是三个小区 $\text{[math]}$ 个方面指标的调查数据：

注：每个小区“ $\text{[math]}$ 分钟社区生活圈”指数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为该小区四个方面的权重， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为该小区四个方面的指标值（小区每一个方面的指标值为 $\text{[math]}$ 之间的一个数值）.

现有 $\text{[math]}$ 个小区的“ $\text{[math]}$ 分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：

分组

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

频数

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

（Ⅰ）分别判断 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三个小区是否是优质小区，并说明理由；

（Ⅱ）对这 $\text{[math]}$ 个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取 $\text{[math]}$ 个小区进行调查，若在抽取的 $\text{[math]}$ 个小区中再随机地选取 $\text{[math]}$ 个小区做深入调查，记这 $\text{[math]}$ 个小区中为优质小区的个数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望.

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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右顶点 $\text{[math]}$ ，且离心率为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（Ⅱ）设 $\text{[math]}$ 为原点，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 面积之和的最小值.

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21. 已知函数 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

（Ⅱ）若函数 $\text{[math]}$ 有极小值，求证： $\text{[math]}$ 的极小值小于 $\text{[math]}$ .

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22. 给定整数 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 每项均为整数，在 $\text{[math]}$ 中去掉一项 $\text{[math]}$ ，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为 $\text{[math]}$ . 将 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 中的最小值称为数列 $\text{[math]}$ 的特征值.
（Ⅰ）已知数列 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的值及 $\text{[math]}$ 的特征值；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 时，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系，并说明理由；

（Ⅲ）已知数列 $\text{[math]}$ 的特征值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

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北京市海淀区2019-2020学年高三上学期数学期末试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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分组	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
频数	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

北京市海淀区2019-2020学年高三上学期数学期末试卷

一、单选题

二、填空题

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