2016-2017学年重庆市沙坪坝区南开中学高二上学期期中数学试卷（理科）

修改时间：2024-07-12 浏览次数：923 类型：期中考试编辑

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一、选择题

1. 双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程是（）

A . y=±x B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 命题“∀x∈R，均有x²+sinx+1＜0”的否定为（）

A . ∀∈R，均有x²+sinx+1≥0 B . ∃x∈R，使得x²+sinx+1＜0 C . ∃x∈R，使得x²+sinx+1≥0 D . ∀x∈R，均有x²+sinx+1＞0

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3. 椭圆 $\text{[math]}$ =1的左顶点到右焦点的距离为（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 6

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4. “方程 $\text{[math]}$ =1表示焦点在x轴的椭圆”是“﹣1＜n＜2”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. 已知点P（﹣1，3）在抛物线C：y²=2px的准线上，其焦点为F，则直线PF的斜率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . ﹣2 D . $\text{[math]}$

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6. 直线l：y=kx与双曲线C：x²﹣y²=2交于不同的两点，则斜率k的取值范围是（）

A . （0，1） B . $\text{[math]}$ C . （﹣1，1） D . [﹣1，1]

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7. 已知抛物线C：y²=6x的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，若M（3， $\text{[math]}$ ），则|PM|+|PF|的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . 6 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 中心在原点的椭圆长轴右顶点为（2，0），直线y=x﹣1与椭圆相交于M，N两点，MN中点的横坐标为 $\text{[math]}$ ，则此椭圆标准方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知圆台的下底面周长是上底面周长的3倍，母线长为3，且圆台的侧面积为12π，则该圆台的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . 13π C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 平行四边形ABCD的顶点A为双曲线 $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0）的中心，顶点B为双曲线的右焦点，顶点C在y轴正半轴上，顶点D恰好在该双曲线左支上，若∠ABC=45°，则此双曲线的离心率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知椭圆E： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆于A，B两点．若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离等于 $\text{[math]}$ ，则椭圆焦距是（）

A . 2 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 4

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12. 已知双曲线 $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，过左焦点F₁（﹣c，0）作圆x²+y²=a²的切线，切点为E，延长F₁E交抛物线y²=4cx于P，Q两点，则|PE|+|QE|的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 10a C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 抛物线x²=﹣2y的准线方程为．

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14. 已知正四棱锥V﹣ABCD的底面边长为4，侧棱长为 $\text{[math]}$ ，则它的表面积为．

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15. 椭圆与双曲线有相同的焦点F₁（﹣c，0），F₂（c，0），椭圆的一个短轴端点为B，直线F₁B与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆与双曲线的离心率分别为e₁ ， e₂ ，则3e₁²+e₂²的最小值为．

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16. 如图，抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（ $\text{[math]}$ p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=3|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为．

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三、解答题

17. 已知圆C：x²+y²﹣4x﹣4y+4=0．

（1）求圆C的圆心坐标和半径；

（2）直线l过点A（4，0）、B（0，2），求直线l被圆C截得的弦长．

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18. 设命题p：不等式x﹣x²≤a对∀x≥1恒成立，命题q：关于x的方程x²﹣ax+1=0在R上有解．

（1）若¬p为假命题，求实数a的取值范围；

（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．

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19. 已知双曲线 $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0）．

（1）若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，求双曲线的方程；

（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为﹣ $\text{[math]}$ ，求双曲线的离心率．

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20. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，且右准线方程为x=5．

（1）求椭圆方程；

（2）过椭圆右焦点F作斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为椭圆上一动点，求△PAB面积的最大值．

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21. 已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为（1，0），A，B是抛物线上位于x轴两侧的两动点，且 $\text{[math]}$ =﹣4（O为坐标原点）．

（1）求抛物线方程；

（2）证明：直线AB过定点T；

（3）过点T作AB的垂线交抛物线于M，N两点，求四边形AMBN的面积的最小值．

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22. 如图，椭圆C： $\text{[math]}$ =1（0＜b＜3）的右焦点为F，P为椭圆上一动点，连接PF交椭圆于Q点，且|PQ|的最小值为 $\text{[math]}$ ．

（1）求椭圆方程；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求直线PQ的方程；

（3） M，N为椭圆上关于x轴对称的两点，直线PM，PN分别与x轴交于R，S，求证：|OR|•|OS|为定值．

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2016-2017学年重庆市沙坪坝区南开中学高二上学期期中数学试卷（理科）

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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