辽宁省沈阳市郊联体2017-2018学年高二下学期理数期中考试试卷

修改时间：2024-07-13 浏览次数：287 类型：期中考试编辑

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一、单选题

1. 已知复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 设平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 由与圆心距离相等的两条弦长相等，想到与球心距离相等的两个截面圆的面积相等，用的是（）

A . 三段论推理 B . 类比推理 C . 归纳推理 D . 传递性关系推理

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4. 若向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 用反证法证明命题“设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为实数，函数 $\text{[math]}$ 至少有一个零点”时要做的假设是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 恰有两个零点 B . 函数 $\text{[math]}$ 至多有一个零点 C . 函数 $\text{[math]}$ 至多有两个零点 D . 函数 $\text{[math]}$ 没有零点

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6. 用数学归纳法证明 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）时，第一步应验证不等式（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 定积分 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ 的导函数 $\text{[math]}$ 只有一个极值点，在同一平面直角坐标系中，函数 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 的图象可以为（）

A . B . C . D .

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9. 甲、乙、丙、丁四位同学一起向数学老师询问数学竞赛的成绩．老师说：他们四人中有2位获得一等奖，有2位获得二等奖，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）

A . 乙、丁可以知道对方的成绩 B . 乙、丁可以知道自己的成绩 C . 乙可以知道四人的成绩 D . 丁可以知道四人的成绩

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10. 若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是增函数，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 函数 $\text{[math]}$ 的极大值点为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知 $\text{[math]}$ 是定义在区间 $\text{[math]}$ 上的函数， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 当 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 时，复数 $\text{[math]}$ 在复平面上对应的点位于第象限．

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14. 曲线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所围成的封闭图形的面积为.

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15. 如图，已知三棱锥 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，则直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角的余弦值为．

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16. 函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，对任意 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知函数 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与 $\text{[math]}$ 轴平行．

（1）求函数 $\text{[math]}$ 的表达式；

（2）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间及极值．

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18. 已知四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中点．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）求直线 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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19. 设函数 $\text{[math]}$ ．

（1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

（2）证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

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20. 在如图所示的几何体中，四边形 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ 是矩形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值，若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．

（1） $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的导函数，讨论 $\text{[math]}$ 的零点个数；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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22. 已知复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为实数， $\text{[math]}$ 为虚数单位），且 $\text{[math]}$ 是纯虚数．

（1）求复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（2）求 $\text{[math]}$ 的共轭复数．

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