证明：取BC中点O，连AO，∵△ABC为正三角形，

∴AO⊥BC，

∵在正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，

平面ABC⊥平面BCC₁B₁，

∴AD⊥平面BCC₁B₁，

取B₁C₁中点为O₁，以O为原点，

$\vec{O B}$ ， $\vec{O O_{1}}$ ， $\vec{O A}$ 的方向为x，y，z轴的正方向，

建立空间直角坐标系，

则 $B (1 ， 0 ， 0) ， D (- 1 ， 1 ， 0) ， A_{1} (0 ， 2 ， \sqrt{3}) ， A (0 ， 0 ， \sqrt{3}) ， B_{1} (1 ， 2 ， 0)$ ．

∴ $\vec{A B_{1}} = (1 ， 2 ， \sqrt{3}) ， \vec{B D} = (- 2 ， 1 ， 0) ， \vec{B A_{1}} = (- 1 ， 2 ， \sqrt{3})$ ，

∵ $\vec{A B_{1}} \cdot \vec{B D} = - 2 + 2 + 0 = 0$ ， $\vec{A B_{1}} \cdot \vec{B A_{1}} = - 1 + 4 - 3 = 0$ ．

∴ $\vec{A B_{1}} ⊥ \vec{B D}$ ， $\vec{A B_{1}} ⊥ \vec{B A_{1}}$ ，∴AB₁⊥面A₁BD．…（5分）

AA₁⊂面A₁BD

所以平面ABB₁A₁⊥面A₁BD

2016-2017学年天津市红桥区高二上学期期中数学试卷（理科）