解：∵DA、DC、DD₁两两垂直，

∴可以D为原点，DA、DC、DD₁分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．

设正方体棱长为2，

则M（2，1，1），N（1，1，2），A₁（2，0，2），B（2，2，0），

D（0，0，0），A（2，0，0），C₁（0，2，2），

∴ $\vec{M N} = (- 1 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{D A_{1}} = (2 ， 0 ， 2)$ ， $\vec{D B} = (2 ， 2 ， 0)$ ， $\vec{A C_{1}} = (- 2 ， 2 ， 2)$ ，

∵ $\vec{A C_{1}} \cdot \vec{D A_{1}} = 0$ ， $\vec{A C_{1}} \cdot \vec{D B} = 0$ ，

∴ $\vec{A C_{1}} ⊥ \vec{D A_{1}}$ ， $\vec{A C_{1}} ⊥ \vec{D B}$ ，

∴ $\vec{A C_{1}} = (- 2 ， 2 ， 2)$ 为平面A₁BD的法向量，

设直线MN与平面A₁BD所成的角为θ，

则 $\sin θ = \cos < \vec{M N} ， \vec{A C_{1}} > = \frac{\vec{M N} \cdot \vec{A C_{1}}}{| \vec{M N} | \cdot | \vec{A C_{1}} |} = \frac{4}{\sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，

所以直线MN与平面A₁BD所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高二上学期期中数学试卷（理科）