解：结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为

x^{2} + y^{2} = 5

.证明如下：

假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为 $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ .

当直线 $l$ 的斜率存在时，设 $l$ 的方程为 $y = k x + m$ .

由方程组 ${\begin{cases} y = k x + m \\ \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1 \end{cases}$ 得 $(4 k^{2} + 1) x^{2} + 8 k m x + 4 m^{2} - 4 = 0$ ，

因为直线 $l$ 与椭圆有且仅有一个公共点，

所以 $Δ_{1} = {(8 k m)}^{2} - 4 (4 k^{2} + 1) (4 m^{2} - 4) = 0$ ，即 $m^{2} = 4 k^{2} + 1$ .

由方程组 ${\begin{cases} y = k x + m \\ x^{2} + y^{2} = r^{2} \end{cases}$ 得 $(k^{2} + 1) x^{2} + 3 k m x + m^{2} - r^{2} = 0$ ，

则 $Δ_{2} = {(2 k m)}^{2} - 4 (k^{2} + 1) (m^{2} - r^{2}) > 0$ .

设 $P_{1} (x_{1} ， y_{1}) ， P_{2} (x_{2} ， y_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} = \frac{- 2 k m}{k^{2} + 1} ， x_{1} \cdot x_{2} = \frac{m^{2} - r^{2}}{k^{2} + 1}$ ，

设直线 $O P_{1} ， O P_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1} k_{2}$ ，所以.

$k_{1} k_{2} = \frac{y_{1} y_{2}}{x_{1} x_{2}} = \frac{(k x_{1} + m) (k x_{2} + m)}{x_{1} x_{2}} = \frac{k^{2} x_{1} x_{2} + k m (x_{1} + x_{2}) + m^{2}}{x_{1} x_{2}}$

$= \frac{k^{2} \frac{m^{2} - r^{2}}{k^{2} + 1} + k m \frac{- 2 k m}{k^{2} + 1} + m^{2}}{\frac{m^{2} - r^{2}}{k^{2} + 1}} = \frac{m^{2} - r^{2} k^{2}}{m^{2} - r^{2}}$ ，

将 $m^{2} = 4 k^{2} + 1$ 代入上式，得 $k_{1} k_{2} = \frac{(4 - r^{2}) k^{2} + 1}{4 k^{2} + (1 - r^{2})}$ .

要使得 $k_{1} k_{2}$ 为定值，则 $\frac{4 - r^{2}}{4} = \frac{1}{1 - r^{2}}$ ，即 $r^{2} = 5$ ，验证符合题意.

所以当圆的方程为 $x^{2} + y^{2} = 5$ 时，圆与 $l$ 的交点 $P_{1} ， P_{2}$ 满足 $k_{1} k_{2}$ 为定值 $- \frac{1}{4}$ .

当直线 $l$ 的斜率不存在时，由题意知 $l$ 的方程为，

此时，圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 与 $l$ 的交点 $P_{1} ， P_{2}$ 也满足 $k_{1} k_{2} = - \frac{1}{4}$ .

综上，当圆的方程为 $x^{2} + y^{2} = 5$ 时，圆与 $l$ 的交点 $P_{1} ， P_{2}$ 满足斜率之积 $k_{1} k_{2}$ 为定值 $- \frac{1}{4}$ .

重庆綦江区2017—2018学年高二理数上学期联考试卷