解：如图，圆心O的运动路径长为 $\text{[math]}$ ，

过点O₁作O₁D⊥BC、O₁F⊥AC、O₁G⊥AB，垂足分别为点D、F、G，

过点O作OE⊥BC，垂足为点E，连接O₂B，

过点O₂作O₂H⊥AB，O₂I⊥AC，垂足分别为点H、I，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°、∠A=30°，

∴AC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =9 $\text{[math]}$ ，AB=2BC=18，∠ABC=60°，

∴C_△_ABC=9+9 $\text{[math]}$ +18=27+9 $\text{[math]}$ ，

∵O₁D⊥BC、O₁G⊥AB，

∴D、G为切点，

∴BD=BG，

在Rt△O₁BD和Rt△O₁BG中，

∵ $\text{[math]}$ ，

∴△O₁BD≌△O₁BG（HL），

∴∠O₁BG=∠O₁BD=30°，

在Rt△O₁BD中，∠O₁DB=90°，∠O₁BD=30°，

∴BD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，

∴OO₁=9﹣2﹣2 $\text{[math]}$ =7﹣2 $\text{[math]}$ ，

∵O₁D=OE=2，O₁D⊥BC，OE⊥BC，

∴O₁D∥OE，且O₁D=OE，

∴四边形OEDO₁为平行四边形，

∵∠OED=90°，

∴四边形OEDO₁为矩形，

同理四边形O₁O₂HG、四边形OO₂IF、四边形OECF为矩形，

又OE=OF，

∴四边形OECF为正方形，

∵∠O₁GH=∠CDO₁=90°，∠ABC=60°，

∴∠GO₁D=120°，

又∵∠FO₁D=∠O₂O₁G=90°，

∴∠OO₁O₂=360°﹣90°﹣90°=60°=∠ABC，

同理，∠O₁OO₂=90°，

∴△OO₁O₂∽△CBA，

∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ =15+ $\text{[math]}$ ，即圆心O运动的路径长为15+ $\text{[math]}$

备考2018年中考数学一轮基础复习：专题二十一 与圆有关的位置关系

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