解法一：作BQ⊥CF于Q，连结AQ，

面BFC⊥面ABFE，面ABFE∩面BFC=BF，

AB⊂面ABFE，AB⊥BF，

∴AB⊥面BCF，

CF⊂面BCF，∴AB⊥CF，BQ⊥CF，AB∩BQ=B，

∴CF⊥面ABQ，AQ⊂面ABQ，

AQ⊥CF，∴∠AQB为所求的二面角的平面角，

在Rt△ABQ中，tan∠AQB= $\frac{A B}{B Q}$ = $\frac{4}{2 \sqrt{2}}$ = $\sqrt{2}$ ，

∴cos $∠ A Q B = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，

∴二面角A﹣CF﹣B的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．

解法二：以EA，AB，AD所在直线为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系，

A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，4，4），F（﹣4，4，0），

面CBF法向量为 $\vec{n} = (0 ， 1 ， 0)$ ，

$\vec{C A} = (0 ， - 4 ， - 4) ， \vec{C F} = (- 4 ， 0 ， - 4)$ ，

设面ACF法向量为 $\vec{m} = (x ， y ， z)$ ，

${\begin{matrix} \vec{m} ⊥ \vec{C A} \\ \vec{m} ⊥ \vec{C F} \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} (x ， y ， z) \cdot (0 ， - 4 ， - 4) = 0 \\ (x ， y ， z) \cdot (- 4 ， 0 ， - 4) = 0 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} - 4 y - 4 z = 0 \\ - 4 x - 4 z = 0 \end{matrix}$

取z=﹣1，所以 $x = 1 ， y = 1 ， \vec{m} = (1 ， 1 ， - 1)$

设二面角为θ，

$\cos θ = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{| \vec{m} | \cdot | \vec{n} |} = \frac{(0 ， 1 ， 0) \cdot (1 ， 1 ， - 1)}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，

∴二面角A﹣CF﹣B的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．

2015-2016学年黑龙江省齐齐哈尔市龙江县东方红林业局高中高二上学期期末数学试卷（理科）