解：如图，

$O C = \sqrt{3} ， C D = 1 ， ∴ O D = 2 ， ∠ C O D = \frac{π}{6}$

作 $P P_{1} ⊥ x$ 轴于 $P_{1}$ 点，在 $R t △ O P P_{1}$ 中， $P P_{1} = O P \sin θ = 2 \sin θ$

在 $△ O M P$ 中， $\frac{O P}{\sin 120 °} = \frac{O M}{\sin (60 ° - θ)}$

∴ $O M = \frac{O P \cdot \sin (60 ° - θ)}{\sin 120 °} = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \sin (60 ° - θ) = 2 \cos θ - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin θ$

$S_{平行四边形 O M P Q} = O M \cdot P P_{1} = (2 \cos θ - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin θ) \cdot 2 \sin θ$

$= 4 \sin θ \cos θ - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin^{2} θ = 2 \sin 2 θ + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cos 2 θ - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$= \frac{4 \sqrt{3}}{3} \sin (2 θ + \frac{π}{6}) - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ $θ \in (0 ， \frac{π}{3})$

当 $2 θ + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ 时，即 $θ = \frac{π}{6}$ 时：平行四边形面积最大值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

上海市静安区2017-2018学年高三上学期数学教学质量检测试卷