．解：假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，解法一：设射线DP交⊙O′于点Q，则

\hat{B Q}

=

\hat{C D}

．分两种情况（如图所示）：

①∵O′（4，0），D（4，﹣5），B（9，0），C（0，﹣3）．

∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q₁重合，

因此，点Q₁（7，﹣4）符合 $\hat{B Q}$ = $\hat{C D}$ ，

∵D（4，﹣5），Q₁（7，﹣4），

∴用待定系数法可求出直线DQ₁解析式为y= $\frac{1}{3}$ x﹣ $\frac{19}{3}$ ．

解方程组

{\begin{matrix} y = \frac{1}{3} x - \frac{19}{3} \\ y = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{8}{3} x - 3 \end{matrix}

得

{\begin{matrix} x_{1} = \frac{9 - \sqrt{41}}{2} \\ y_{1} = \frac{- 29 - \sqrt{41}}{6} \end{matrix} 或 {\begin{matrix} x_{2} = \frac{9 + \sqrt{41}}{2} \\ y_{2} = \frac{- 29 + \sqrt{41}}{6} \end{matrix}

∴点P₁坐标为（

\frac{9 + \sqrt{41}}{2}

，

\frac{- 29 + \sqrt{41}}{6}

），坐标为（

\frac{9 - \sqrt{41}}{2}

，

\frac{- 29 - \sqrt{41}}{6}

）不符合题意，舍去．

②∵Q₁（7，﹣4），

∴点Q₁关于x轴对称的点的坐标为Q₂（7，4）也符合 $\hat{B Q}$ = $\hat{C D}$ ．

∵D（4，﹣5），Q₂（7，4）．

∴用待定系数法可求出直线DQ₂解析式为y=3x﹣17．

解方程组

{\begin{matrix} y = 3 x - 17 \\ y = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{8}{3} x - 3 \end{matrix}

得

{\begin{matrix} x_{1} = 3 \\ y_{1} = - 8 \end{matrix}

，即

{\begin{matrix} x_{2} = 14 \\ y_{2} = 25 \end{matrix}

∴点P₂坐标为（14，25），坐标为（3，﹣8）不符合题意，舍去．∴符合条件的点P有两个：P₁（

\frac{9 + \sqrt{41}}{2}

，

\frac{- 29 + \sqrt{41}}{6}

），P₂（14，25）．解法二：分两种情况（如图所示）：

①当DP₁∥CB时，能使∠PDB=∠CBD．

∵B（9，0），C（0，﹣3）．

∴用待定系数法可求出直线BC解析式为y= $\frac{1}{3}$ x﹣3．

又∵DP₁∥CB，

∴设直线DP₁的解析式为y=

\frac{1}{3}

x+n．

把D（4，﹣5）代入可求n=﹣ $\frac{19}{3}$ ，

∴直线DP₁解析式为y= $\frac{1}{3}$ x﹣ $\frac{19}{3}$ ．

解方程组

{\begin{matrix} y = \frac{1}{3} x - \frac{19}{3} \\ y = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{8}{3} x - 3 \end{matrix}

得

{\begin{matrix} x_{1} = \frac{9 - \sqrt{41}}{2} \\ y_{1} = \frac{- 29 - \sqrt{41}}{6} \end{matrix} 或 {\begin{matrix} x_{2} = \frac{9 + \sqrt{41}}{2} \\ y_{2} = \frac{- 29 + \sqrt{41}}{6} \end{matrix}

∴点P₁坐标为（

\frac{9 + \sqrt{41}}{2}

，

\frac{- 29 + \sqrt{41}}{6}

）或（

\frac{9 - \sqrt{41}}{2}

，

\frac{- 29 - \sqrt{41}}{6}

）（不符合题意舍去）．

②在线段O′B上取一点N，使BN=DM时，得△NBD≌△MDB（SAS），

∴∠NDB=∠CBD．

由①知，直线BC解析式为y= $\frac{1}{3}$ x﹣3．

取x=4，得y=﹣ $\frac{5}{3}$ ，

∴M（4，﹣

\frac{5}{3}

），∴O′N=O′M=

\frac{5}{3}

，∴N（

\frac{17}{3}

，0），又∵D（4，﹣5），

∴直线DN解析式为y=3x﹣17．

解方程组 ${\begin{matrix} y = 3 x - 17 \\ y = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{8}{3} x - 3 \end{matrix}$

得

{\begin{matrix} x_{1} = 3 \\ y_{1} = - 8 \end{matrix}

，

{\begin{matrix} x_{2} = 14 \\ y_{2} = 25 \end{matrix}

∴点P₂坐标为（14，25），坐标为（3，﹣8）不符合题意，舍去．∴符合条件的点P有两个：P₁（

\frac{9 + \sqrt{41}}{2}

，

\frac{- 29 + \sqrt{41}}{6}

），P₂（14，25）．解法三：分两种情况（如图所示）：

①求点P₁坐标同解法二．

②过C点作BD的平行线，交圆O′于G，此时，∠GDB=∠GCB=∠CBD．由（2）题知直线BD的解析式为y=x﹣9，又∵C（0，﹣3）∴可求得CG的解析式为y=x﹣3，设G（m，m﹣3），作GH⊥x轴交于x轴与H，连接O′G，在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=7，由D（4，﹣5）与G（7，4）可得，DG的解析式为y=3x﹣17，解方程组

{\begin{matrix} y = 3 x - 17 \\ y = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{8}{3} x - 3 \end{matrix}

得

{\begin{matrix} x_{1} = 3 \\ y_{1} = - 8 \end{matrix}

，即

{\begin{matrix} x_{2} = 14 \\ y_{2} = 25 \end{matrix}

∴点P₂坐标为（14，25），坐标为（3，﹣8）不符合题意舍去．∴符合条件的点P有两个：P₁（

\frac{9 + \sqrt{41}}{2}

，

\frac{- 29 + \sqrt{41}}{6}

），P₂（14，25）．

浙江省杭州市萧山区靖江中学2016届九年级下册数学开学考试试卷