解：如图1，

①由动点M从B出发沿BC运动，速度为1秒一个单位长度，行驶t秒，得BM=t，

由线段的和差，得AB=3 $\text{[math]}$ ﹣（﹣ $\text{[math]}$ ）=4 $\text{[math]}$ ，

由正切函数，得tan∠B= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∠ABC=30°，

由正弦函数，得MD=BM•sin∠ABC= $\text{[math]}$ t．

由三角形面积公式，得S= $\text{[math]}$ AB•MD= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ t×4 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ t

即S= $\text{[math]}$ t；

②由S= $\text{[math]}$ S_△_ABC ，得MD= $\text{[math]}$ OC= $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ t= $\text{[math]}$ ，解得t=3，

当t=3时，S= $\text{[math]}$ S_△_ABC；

③如图2：

当t=4时，在坐标轴上存在点P，使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形，

(i)如图2，

∵点M运动的速度为每秒1个单位长度，

∴当t=4时，BM=4，

∵∠ABC=30°，∠PMB=90°，

∴BP=BM÷cos30°=4÷ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

∴OP=OB﹣BP=3 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

∴点P的坐标是（ $\text{[math]}$ ，0）．

(ii)如图3，

PM和AB相交于点N，

∵点M运动的速度为每秒1个单位长度，

∴当t=4时，BM=4，

∵∠ABC=30°，∠NMB=90°，

∴BN=BM÷cos30°=4÷ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

∴ON=OB﹣BN=3 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

∵∠MNB=90°﹣30°=60°，∠ONP=∠MNB，

∴∠ONP=60°，

∴OP=ON•tan60°= $\text{[math]}$ =1，

∴点P的坐标是（0，﹣1）．

(iii)如图4，

∵OC=3，∠ABC=30°，∠BOC=90°，

∴BC=2×3=6，∠PCB=90°﹣30°=60°，

又∵∠PBC=90°，

∴∠BPC=90°﹣60°=30°，

∴CP=2BC=2×6=12，

∴OP=CP﹣OC=12﹣3=9，

∴点P的坐标是（0，﹣9）．

综上，可得

当t=4时，在坐标轴上存在点P，使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形，

点P的坐标是（ $\text{[math]}$ ，0）、（0，﹣1）或（0，﹣9）．

北师大版初中数学八年级上册一次函数压轴题