①由（1）知，a=﹣

\frac{1}{2}

，b=

\frac{3}{2}

，

∴二次函数的解析式为y=﹣ $\frac{1}{2}$ x²+ $\frac{3}{2}$ x+2，

如图，过点P作PG垂直于x轴于点G，与线段BC交于点M，

直线BC的表达式为y=﹣ $\frac{1}{2}$ x+2，则点M的坐标为（t，﹣ $\frac{1}{2}$ t+2），

则PM=y_P﹣y_M=（﹣ $\frac{1}{2}$ t²+ $\frac{3}{2}$ t+2）﹣（﹣ $\frac{1}{2}$ t+2）=﹣ $\frac{1}{2}$ t²+2t

∵∠PQM=∠PGB，∠PMQ=GMB，

∴∠QPM=∠CBO

又∵∠PQM=∠COB，

∴△PQM∽△BOC，

∴ $\frac{P Q}{P M} = \frac{B O}{B C}$

∴PQ= $\frac{2}{\sqrt{5}}$ PM= $\frac{2}{\sqrt{5}}$ （﹣ $\frac{1}{2}$ t²+2t）=﹣ $\frac{1}{\sqrt{5}}$ t（t﹣4）

由抛物线的对称性可知，当t=2时，PQ的最大值是 $\frac{4}{\sqrt{5}}$ = $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

②由①知，二次函数的解析式为y=﹣ $\frac{1}{2}$ x²+ $\frac{3}{2}$ x+2，

∴C（0，2），

∴OC=2，

∵B（4，0），

∴OB=4，

设P（t，﹣ $\frac{1}{2}$ t²+ $\frac{3}{2}$ t+2），

∴M（t，﹣ $\frac{1}{2}$ t+2）

在Rt△OBC中，tan∠OBC= $\frac{O C}{O B}$ = $\frac{1}{2}$ ，

在Rt△BGM中，BG=4﹣t，

∴MG= $\frac{1}{2}$ （4﹣t），根据勾股定理得，

BM= $\frac{\sqrt{5}}{2}$ （4﹣t），

∵∠PQM=∠PGB，∠PMQ=GMB，

∴△PQM∽△BGM，

∴ $\frac{P Q}{B G} = \frac{Q M}{G M}$ ，= $\frac{1}{2}$ ，

∴QM= $\frac{1}{2}$ PQ= $\frac{1}{2}$ [﹣ $\frac{1}{\sqrt{5}}$ t（t﹣4）]=﹣ $\frac{\sqrt{5} t (t - 4)}{10}$ ，

∵B（4，0），C（0，2），

∴BC=2 $\sqrt{5}$ ，

∴CQ=BC﹣QM﹣BM=2 $\sqrt{5}$ + $\frac{\sqrt{5} t (t - 4)}{10}$ ﹣ $\frac{\sqrt{5}}{2}$ （4﹣t）= $\frac{\sqrt{5} (t^{2} + t)}{10}$ = $\frac{\sqrt{5}}{10}$ t（t+1）

∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），

∴AB²=25，BC²=20，AC²=5，

∴AC²+BC²=AB²，

∴△ABC是直角三角形，

∴∠ACB=90°=∠PQC

∵以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，

∴①△PCQ∽△ABC，

∴ $\frac{P Q}{A C} = \frac{C Q}{B C}$ ，

∴ $\frac{\frac{\sqrt{5}}{5} t (4 - t)}{\sqrt{5}} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{10} t (t + 1)}{2 \sqrt{5}}$ ，

∴t=3，

∴P（3，2）

②△CPQ∽△ABC，

∴ $\frac{C Q}{A C} = \frac{P Q}{B C}$ ，

∴ $\frac{\frac{\sqrt{5}}{10} t (t + 1)}{\sqrt{5}} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{5} t (4 - t)}{2 \sqrt{5}}$ ，

∴t= $\frac{3}{2}$ ，

∴P（ $\frac{3}{2}$ ， $\frac{25}{8}$ ）

即：P的坐标为（3，2）或（ $\frac{3}{2}$ ， $\frac{25}{8}$ ）．

江苏省徐州市2017年中考数学信息试卷