解：取点A为原点，使点 $B$ 与点 $C$ 关于 $x$ 轴对称，建立平面直角坐标系，如图所示：

则 $B (3, - \sqrt{3}), C (3, \sqrt{3}), O (2, 0)$ ，

由动点P满足 $| \vec{A P} | = 1$ 可得点 $P$ 的轨迹是以点 $A$ 为圆心，半径为1的圆，

故可设点P的坐标为 $P (\cos θ, \sin θ), θ \in [0, 2 π)$ ，又因点M是PC的中点，

所以点M的坐标为 $M (\frac{3 + \cos θ}{2}, \frac{\sqrt{3} + \sin θ}{2})$ ，

故 $| \vec{B M} |^{2} = {(3 - \frac{3 + \cos θ}{2})}^{2} + {(- \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3} + \sin θ}{2})}^{2}$ $= {(\frac{3 - \cos θ}{2})}^{2} + {(\frac{3 \sqrt{3} + \sin θ}{2})}^{2}$

$= \frac{37}{4} - \frac{3}{2} \cos θ + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \sin θ$ $= \frac{37}{4} + 3 \sin (θ - \frac{π}{6})$ ，

$θ \in [0, 2 π)$ ，则 $- \frac{π}{6} \leq θ - \frac{π}{6} < \frac{11π}{6}$ ，

故当 $θ - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ ，即 $θ = \frac{2 π}{3}$ 时， $\sin (θ - \frac{π}{6})$ 取得最大值1，故 $| \vec{B M} |$ 的最大值为 $\frac{7}{2}$ ．

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