解：①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，

∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠DBF=∠BAO，

又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，

在△AOB和△BFD中，

${\begin{matrix} ∠ D B F = ∠ B A O \\ ∠ A O B = ∠ B F D \\ A B = B D \end{matrix}$ ，

∴△AOB≌△BFD（AAS）

∴DF=BO=1，BF=AO=2，

∴D的坐标是（3，1），

根据题意，得a=﹣ $\frac{1}{3}$ ，c=0，且a×3²+b×3+c=1，

∴b= $\frac{4}{3}$ ，

∴该抛物线的解析式为y=﹣ $\frac{1}{3}$ x²+ $\frac{4}{3}$ x；

②∵点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，

∴C（ $\frac{1}{2}$ ，1），

∵C、D两点的纵坐标都为1，

∴CD∥x轴，

∴∠BCD=∠ABO，

∴∠BAO与∠BCD互余，

要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，

设P的坐标为（x，﹣ $\frac{1}{3}$ x²+ $\frac{4}{3}$ x），

（Ⅰ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2，

则tan∠POB=tan∠BAO，即 $\frac{P G}{O G}$ = $\frac{B O}{A O}$ ，

∴ $\frac{- \frac{1}{3} x^{2} + \frac{4}{3} x}{x}$ = $\frac{1}{2}$ ，解得x₁=0（舍去），x₂= $\frac{5}{2}$ ，

∴﹣ $\frac{1}{3}$ x²+ $\frac{4}{3}$ x= $\frac{5}{4}$ ，

∴P点的坐标为（ $\frac{5}{2}$ ， $\frac{5}{4}$ ）；

（Ⅱ）当P在x轴的下方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图3

则tan∠POB=tan∠BAO，即 $\frac{P G}{O G}$ = $\frac{B O}{A O}$ ，

∴ $\frac{\frac{1}{3} x^{2} - \frac{4}{3} x}{x}$ = $\frac{1}{2}$ ，解得x₁=0（舍去），x₂= $\frac{11}{2}$ ，

∴﹣ $\frac{1}{3}$ x²+ $\frac{4}{3}$ x=﹣ $\frac{11}{4}$ ，

∴P点的坐标为（ $\frac{11}{2}$ ，﹣ $\frac{11}{4}$ ）；

综上，在抛物线上是否存在点P（ $\frac{5}{2}$ ， $\frac{5}{4}$ ）或（ $\frac{11}{2}$ ，﹣ $\frac{11}{4}$ ），使得∠POB与∠BCD互余

山东省临沂市郯城县2017年中考数学一模试卷