解：易知 $A_{1} (- 1, 0) ， A_{2} (1, 0)$ ，

当直线 $l$ 的斜率为0时， $\vec{A_{1} R} \cdot \vec{A_{2} P} = 0$ ，不合题意，则 $k_{l} \neq 0$ ，

设直线 $l : x = m y - 2$ ，点 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ ，延长 $O Q$ 交双曲线 $Γ$ 于点 $R$ ，根据双曲线对称性知 $R (- x_{2}, - y_{2})$ ，

联立 ${\begin{cases} x = m y - 2 \\ x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \end{cases}$ ，消元整理可得 $(b^{2} m^{2} - 1) y^{2} - 4 b^{2} m y + 3 b^{2} = 0$ ，

易知 $b^{2} m^{2} - 1 \neq 0$ ， $Δ = {(- 4 m b^{2})}^{2} - 4 (b^{2} m^{2} - 1) 3 b^{2} = 4 b^{4} m^{2} + 12 b^{2} > 0$ ，

由韦达定理可得： $y_{1} + y_{2} = \frac{4 b^{2} m}{b^{2} m^{2} - 1}$ ①， $y_{1} y_{2} = \frac{3 b^{2}}{b^{2} m^{2} - 1}$ ②，

则 $\vec{A_{1} R} = (- x_{2} + 1, - y_{2}) ， \vec{A_{2} P} = (x_{1} - 1, y_{1})$ ， $\vec{A_{1} R} \cdot \vec{A_{2} P} = (- x_{2} + 1) (x_{1} - 1) - y_{1} y_{2} = 1$ ，
因为 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ 在直线 $l$ 上，所以 $x_{1} = m y_{1} - 2$ ， $x_{2} = m y_{2} - 2$ ，

即 $- (m y_{2} - 3) (m y_{1} - 3) - y_{1} y_{2} = 1$ ，即 $y_{1} y_{2} (m^{2} + 1) - (y_{1} + y_{2}) 3 m + 10 = 0$ ，

将①②代入可得 $(m^{2} + 1) \cdot \frac{3 b^{2}}{b^{2} m^{2} - 1} - 3 m \cdot \frac{4 b^{2} m}{b^{2} m^{2} - 1} + 10 = 0$ ，

即 $3 b^{2} (m^{2} + 1) - 3 m \cdot 4 b^{2} m + 10 (b^{2} m^{2} - 1) = 0$ ，即 $b^{2} m^{2} + 3 b^{2} - 10 = 0$ ，

则 $m^{2} = \frac{10}{b^{2}} - 3$ ，代入到 $b^{2} m^{2} - 1 \neq 0$ ，得 $b^{2} = 10 - 3 b^{2} \neq 1$ ，所以 $b^{2} \neq 3$ ，

且 $m^{2} = \frac{10}{b^{2}} - 3 \geq 0$ ，解得 $b^{2} \leq \frac{10}{3}$ ，又因为 $b > 0$ ，所以 $0 < b^{2} \leq \frac{10}{3}$ ，

综上知， $b^{2} \in (0, 3) ∪ (3, \frac{10}{3}]$ ，则 $b \in (0, \sqrt{3}) ∪ (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{30}}{3}]$ .

2024年高考真题分类汇编八 平面解析几何

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