（2）证明：因为D，E分别为 $A_{1} B_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，
所以 $D E // A_{1} C_{1}$ .

又 $A C // A_{1} C_{1}$ ，
所以 $D E // A C$ .

因为 $D E ⊄$ 平面 $A C G$ ， $A C \subset$ 平面 $A C G$ ，
所以 $D E //$ 平面 $A C G$ .

取 $A A_{1}$ 的中点N，连接 $B_{1} N$ .
因为 $\vec{A F} = 3 \vec{F A_{1}}$ ，
所以F为 $N A_{1}$ 的中点.

又D为 $A_{1} B_{1}$ 的中点，
所以 $D F // N B_{1}$ .

易证 $N B_{1} // A G$ ，
所以 $D F // A G$ .
因为 $D F ⊄$ 平面 $A C G$ ， $A G \subset$ 平面 $A C G$ ，
所以 $D F //$ 平面 $A C G$ .

又 $D E \cap D F = D$ ，
所以平面 $A C G //$ 平面 $D E F$ .

河北省廊坊市第十五中学等校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题