解：证明：如图3，延长

A D

到M，使

M D = A D

，连接

B M

，

∴ $A M = 2 A D$ ，

∵ $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，

∴ $B D = C D$ ，

在 $△ B M D$ 与 $△ C A D$ 中，

${\begin{array}{l} M D = A D \\ ∠ B D A = ∠ C D A \\ B D = C D \end{array}$ ，

∴ $△ B M D ≌ △ C A D (S A S)$ ，

∴ $B M = C A$ ， $∠ M = ∠ C A D$ ，

∴ $∠ B A C = ∠ B A M + ∠ C A D = ∠ B A M + ∠ M$ ，

∵ $∠ A C B = ∠ Q + ∠ C A Q$ ， $A B = B C$ ，

∵ $∠ A C Q = 180 ° - (∠ Q + ∠ C A Q)$ ， $∠ M B A = 180 ° - (∠ B A M + ∠ M)$ ，

∴ $∠ A C Q = ∠ M B A$ ，

∵ $Q C = B C$ ，

∴ $Q C = A B$ ，

在 $△ A C Q$ 与 $△ M B A$ 中，

${\begin{array}{l} B M = C A \\ ∠ A C Q = ∠ M B A \\ Q C = A B \end{array}$ ，

∴ $△ A C Q ≌ △ M B A (S A S)$ ，

∴ $A Q = A M = 2 A D$ ．

人教版八年级上学期数学第十二章质量检测（进阶）