解：

由（1）可知 $C$ 的左焦点为 $(- 1, 0)$ .

故过左焦点且斜率为 $\sqrt{2}$ 的直线为 $l$ ： $y = \sqrt{2} x + \sqrt{2}$ .

将 $l$ 与 $C$ 的方程联立 ${\begin{array}{l} \frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1 \\ y = \sqrt{2} x + \sqrt{2} \end{array}$ ，有 $2 x^{2} + 3 x = 0$ .

设 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ ，则不妨取 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - \frac{3}{2}$ .

故 $| M N | = \sqrt{3} | x_{1} - x_{2} | = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

且P到 $l$ 的距离 $d = \frac{| \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \sqrt{2} |}{\sqrt{2 + 1}} = \frac{2 \sqrt{6} + 2}{3}$ .

所以 $△ P M N$ 的面积为 $\frac{| M N | \cdot d}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times \frac{2 \sqrt{6} + 2}{3} = \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}$ .

广东省惠州市龙门县高级中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题