设点 $P$ 在底面 $A B C D$ 的射影为点 $Q$ ，则 $P Q ⊥$ 平面 $A B C D$ ，

又 $A D \subset$ 平面 $A B C D$ ，所以 $P Q ⊥ A D$ ，取 $A D$ 中点 $M$ ，

因为 $P A = P D$ ，所以 $A D ⊥ P M$ ，

又 $P Q \cap P M = P$ ， $P Q, P M \subset$ 平面 $P Q M$ ，所以 $A D ⊥$ 平面 $P Q M$ ，

因为 $Q M \subset$ 平面 $P Q M$ ，所以 $A D ⊥ Q M$ ，即 $Q$ 在 $A D$ 的中垂线上，

如图建立空间直角建系，不妨取 $A B = 2$ ，

则设 $P$ 为 $(1, a, b)$ ， $a^{2} + b^{2} = 3$ ， $A (2, 0, 0)$ ， $B (2, 2, 0)$ ，

所以 $E (\frac{3}{2}, \frac{a + 2}{2}, \frac{b}{2})$ ， $\vec{A E} = (- \frac{1}{2}, \frac{a + 2}{2}, \frac{b}{2})$ ， $\vec{D B} = (2, 2, 0), \vec{A B} = (0, 2, 0)$ ，

由（1）可知 $\vec{A E} \cdot \vec{D B} = 0$ ，计算得 $a = - 1$ ， $b = \sqrt{2}$ ，所以 $P (1, - 1, \sqrt{2})$ ，

又 $\vec{C B} = (2, 0, 0)$ ， $\vec{C P} = (1, - 3, \sqrt{2})$ ，

设平面PBC的法向量为 $\vec{m} = (x, y, z)$ ，

则 $\{\begin{array}{l} \vec{m} \cdot \vec{C B} = 0 \\ \vec{m} \cdot \vec{C P} = 0 \end{array}$ ，即 $\{\begin{array}{l} 2 x = 0 \\ x - 3 y + \sqrt{2} z = 0 \end{array}$ ，取 $\vec{m} = (0, \sqrt{2}, 3)$ ，

所以 $sin θ = |cos ⟨\vec{A B} \cdot \vec{m}⟩| = |\frac{\vec{A B} \cdot \vec{m}}{|\vec{A B}| \cdot |\vec{m}|}| = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \times \sqrt{2 + 9}} = \frac{\sqrt{22}}{11}$ ．

浙江省东阳市外国语学校2024-2025学年高三上学期8月独立作业（开学）数学试题