因为 $△ A B C$ 为锐角三角形，所以 $D$ 在边 $A B$ 上，且不与 $A, B$ 重合．

设 $∠ A C D = α, ∠ B C D = \frac{π}{3} - α$ ，

在 $△ A C D$ 中， $A C = \frac{C D}{cos α} = \frac{2}{cos α}$ ；

在 $△ B C D$ 中， $B C = \frac{C D}{cos (\frac{π}{3} - α)} = \frac{2}{cos (\frac{π}{3} - α)}$ ．

所以 $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} C A \cdot C B \cdot sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{cos α} \cdot \frac{2}{cos (\frac{π}{3} - α)} = \frac{\sqrt{3}}{cos α \cdot (\frac{1}{2} cos α + \frac{\sqrt{3}}{2} sin α)}$

$= \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{4} cos 2 α + \frac{\sqrt{3}}{4} sin 2 α + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2} sin (2 α + \frac{π}{6}) + \frac{1}{4}} \geq \frac{\sqrt{3}}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \sqrt{3},$

由题意， $α \in (0, \frac{π}{3})$ ，则 $(2 α + \frac{π}{6}) \in (\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ ，

即当 $2 α + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ ，即 $α = \frac{π}{6}$ 时，等号成立．

所以当 $△ A B C$ 的面积取最小值时， $△ A B C$ 为等边三角形，

设 $△ A B C$ 内切圆的半径为 $r$ ，根据正三角形中心的性质易得 $3 r = C D = 2$ ，

则 $△ A B C$ 内切圆的面积 $S = π r^{2} = \frac{4}{9} π$ ．

广东省九师联盟2024届高三上学期开学考试数学试题